×

Right-angled polyhedra and hyperbolic 3-manifolds. (English. Russian original) Zbl 1479.52018

Russ. Math. Surv. 72, No. 2, 335-374 (2017); translation from Usp. Mat. Nauk 72, No. 2, 147-190 (2017).
Summary: Hyperbolic 3-manifolds whose fundamental groups are subgroups of finite index in right-angled Coxeter groups are under consideration. The construction of such manifolds is associated with regular colourings of the faces of polyhedra and, in particular, with 4-colourings. The following questions are discussed: the structure of the set of right-angled polytopes in Lobachevskii space; examples of orientable and non-orientable manifolds, including the classical Löbell manifold constructed in 1931; connections between the Hamiltonian property of a polyhedron and the existence of hyperelliptic involutions of manifolds; the volumes and complexity of manifolds; isometry between hyperbolic manifolds constructed from 4-colourings.

MSC:

52B10 Three-dimensional polytopes
52B11 \(n\)-dimensional polytopes
22E40 Discrete subgroups of Lie groups
51M10 Hyperbolic and elliptic geometries (general) and generalizations

Software:

SnapPy
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI

References:

[1] Винберг Э. Б. and Шварцман О. В. 1988 Дискретные группы движений пространств постоянной кривизны Геометрия - 229 147-259
[2] Wolf J. A. 1972 Spaces of constant curvature (Berkeley, CA: Univ. California)
[3] Klein F. 1928 Grundlehren Math. Wiss.26 (Berlin: J. Springer)
[4] Löbell F. 1931 Beispiele geschlossener dreidimensionaler Clifford-Kleinischer Räume negativer Krümmung Ber. Verh. Sächs. Akad. Leipzig Math.-Phys. Kl.83 167-174 · JFM 57.0706.02
[5] Seifert H. and Weber C. 1933 Die beiden Dodekaederräume Math. Z.37 237-253 · Zbl 0007.02806 · doi:10.1007/BF01474572
[6] Андреев Е. М. 1970 О выпуклых многогранниках в пространствах Лобачевского Матем. сб.81(123) 445-478 · doi:10.1070/SM1970v010n03ABEH001677
[7] Никулин В. В. 1981 О классификации арифметических групп, порожденных отражениями, в пространствах Лобачевского Изв. АН СССР. Сер. матем.45 113-142 · doi:10.1070/IM1982v018n01ABEH001385
[8] Dufour G. 2010 Notes on right-angled Coxeter polyhedra in hyperbolic spaces Geom. Dedicata147 277-282 · Zbl 1205.20048 · doi:10.1007/s10711-009-9454-2
[9] Kolpakov A. 2012 On the optimality of the ideal right-angled 24-cell Algebr. Geom. Topol.12 1941-1960 · Zbl 1272.52014 · doi:10.2140/agt.2012.12.1941
[10] Inoue T. 2008 Organizing volumes of right-angled hyperbolic polyhedra Algebr. Geom. Topol.8 1523-1565 · Zbl 1146.52005 · doi:10.2140/agt.2008.8.1523
[11] Веснин А. Ю. 1998 Объемы трехмерных гиперболических многообразий Лёбелля Матем. заметки64 17-23 · doi:10.4213/mzm1368
[12] Ratcliffe J. G. 1994 Grad. Texts in Math.149 (New York: Springer-Verlag) · doi:10.1007/978-1-4757-4013-4
[13] Веснин А. Ю. 1987 Трехмерные гиперболические многообразия типа Лебелля Сиб. матем. журн.28 50-53 · doi:10.1007/BF00969312
[14] Davis M. W. and Januszkiewicz T. 1991 Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions Duke Math. J.62 417-451 · Zbl 0733.52006 · doi:10.1215/S0012-7094-91-06217-4
[15] Бухштабер В. М. and Панов Т. Е. 2016 О многообразиях, задаваемых 4-раскрасками простых 3-многогранников УМН71 157-158 · doi:10.4213/rm9738
[16] Matveev S. 2007 Algorithms Comput. Math.9 (Berlin: Springer) · doi:10.1007/978-3-540-45899-9
[17] Матвеев С. В. 2005 Табулирование трехмерных многообразий УМН60 97-122 · doi:10.4213/rm1446
[18] Davis M. W. 2008 London Math. Soc. Monogr. Ser.32 (Princeton, NJ: Princeton Univ. Press)
[19] Alexander J. W. 1920 Note on Riemann spaces Bull. Amer. Math. Soc.26 370-372 · JFM 47.0529.02 · doi:10.1090/S0002-9904-1920-03319-7
[20] Montesinos J. 1974 A representation of closed, orientable 3-manifolds as 3-fold branched coverings of Bull. Amer. Math. Soc.80 845-846 · Zbl 0292.57003 · doi:10.1090/S0002-9904-1974-13535-4
[21] Hilden H. M. 1974 Every closed orientable 3-manifold is a 3-fold branched covering space of Bull. Amer. Math. Soc.80 1243-1244 · Zbl 0298.55001 · doi:10.1090/S0002-9904-1974-13699-2
[22] Hirsch U. 1974 Über offene Abbildungen auf die 3-Sphäre Math. Z.140 203-230 · Zbl 0279.57004 · doi:10.1007/BF01214163
[23] Reni M. and Zimmermann B. 2001 On hyperelliptic involutions of hyperbolic 3-manifolds Math. Ann.321 295-317 · Zbl 0986.57012 · doi:10.1007/s002080100229
[24] Mednykh A. D. 1990 Three-dimensional hyperelliptic manifolds Ann. Global Anal. Geom.8 13-19 · Zbl 0712.57007 · doi:10.1007/BF00055015
[25] Веснин А. Ю. and Медных А. Д. 1999 Трехмерные гиперэллиптические многообразия и гамильтоновы графы Сиб. матем. журн.40 745-763 · doi:10.1007/BF02675666
[26] Веснин А. Ю. and Медных А. Д. 1999 Сферические группы Коксетера и гиперэллиптические 3-многообразия Матем. заметки66 173-177 · doi:10.4213/mzm1152
[27] Mednykh A. and Vesnin A. 2003 Colourings of polyhedra and hyperelliptic 3-manifolds Recent advances in group theory and low-dimensional topology27 123-131 · Zbl 1061.57005
[28] Kolpakov A., Martelli B. and Tschantz S. 2015 Some hyperbolic three-manifolds that bound geometrically Proc. Amer. Math. Soc.143 4103-4111 · Zbl 1319.57015 · doi:10.1090/proc/12520
[29] Kolpakov A. and Slavich L. 2016 Hyperbolic 4-manifolds, colourings and mutations Proc. Lond. Math. Soc. (3)113 163-184 · Zbl 1354.57029 · doi:10.1112/plms/pdw025
[30] Винберг Э. Б. 1985 Гиперболические группы отражений УМН40 29-66 · doi:10.1070/RM1985v040n01ABEH003527
[31] Винберг Э. Б. 1984 Отсутствие кристаллографических групп отражений в пространствах Лобачевского большой размерности Trans. Moscow Math. Soc.47 68-102
[32] Прохоров М. Н. 1986 Отсутствие дискретных групп отражений с некомпактным фундаментальным многогранником конечного объема в пространстве Лобачевского большой размерности Изв. АН СССР. Сер. матем.50 413-424 · doi:10.1070/IM1987v028n02ABEH000889
[33] Хованский А. Г. 1986 Гиперплоские сечения многогранников, торические многообразия и дискретные группы в пространстве Лобачевского Функц. анализ и его прил.20 50-61 · doi:10.1007/BF01077314
[34] Potyagailo L. and Vinberg E. 2005 On right-angled reflection groups in hyperbolic spaces Comment. Math. Helv.80 63-73 · Zbl 1072.20046 · doi:10.4171/CMH/4
[35] Coxeter H. S. M. 1948 Regular polytopes (London: Methuen & Co., Ltd.)
[36] Lannér F. 1950 On complexes with transitive groups of automorphisms Comm. Sém., Math. Univ. Lund [Medd. Lunds Univ. Mat. Sem.]11 1-71
[37] Nonaka J. 2015 The number of cusps of right-angled polyhedra in hyperbolic spaces Tokyo J. Math.38 539-560 · Zbl 1341.51014 · doi:10.3836/tjm/1452806056
[38] Винберг Э. Б. 1967 Дискретные группы, порожденные отражениями в пространствах Лобачевского Матем. сб.72(114) 471-488 · doi:10.1070/SM1967v001n03ABEH001992
[39] Belolipetsky M. 2016 Arithmetic hyperbolic reflection groups Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.)53 437-475 · Zbl 1342.22017 · doi:10.1090/bull/1530
[40] Погорелов А. В. 1967 О правильном разбиении пространства Лобачевского Матем. заметки1 3-8 · doi:10.1007/BF01221716
[41] Došlić T. 2003 Cyclical edge-connectivity of fullerene graphs and J. Math. Chem.33 103-112 · Zbl 1018.92036 · doi:10.1023/A:1023299815308
[42] Бухштабер В. М. and Ероховец Н. Ю. 2015 Усечения простых многогранников и приложения Proc. Steklov Inst. Math.289 115-144 · doi:10.1134/S0371968515020077
[43] Andova V., Kardoš F. and Škrekovski R. 2016 Mathematical aspects of fullerenes Ars Math. Contemp.11 353-379 · Zbl 1355.05095 · doi:10.26493/1855-3974.834.b02
[44] Buser P., Mednykh A. and Vesnin A. 2012 Lambert cube and the Löbell polyhedron revisited Adv. Geom.12 525-548 · Zbl 1348.51008 · doi:10.1515/advgeom-2012-0008
[45] Roeder R. K. W. 2007 Constructing hyperbolic polyhedra using Newton’s method Experimental. Math.16 463-492 · Zbl 1134.52015 · doi:10.1080/10586458.2007.10129015
[46] Endo M. and Kroto H. W. 1992 Formation of carbon nanofibers J. Phys. Chem.96 6941-6944 · doi:10.1021/j100196a017
[47] Vesnin A. 2010 Volumes and normalized volumes of right-angled hyperbolic polyhedra Atti Semin. Mat. Fis. Univ. Modena Reggio Emilia57 159-169 · Zbl 1235.51024
[48] Inoue T. 2015 The 825 smallest right-angled hyperbolic polyhedra in preparation arXiv:1512.01761
[49] Heard D.
[50] Atkinson C. K. 2009 Volume estimates for equiangular hyperbolic Coxeter polyhedra Algebr. Geom. Topol.9 1225-1254 · Zbl 1170.57012 · doi:10.2140/agt.2009.9.1225
[51] Андреев Е. М. 1970 О выпуклых многогранниках конечного объема в пространстве Лобачевского Матем. сб.83(125) 256-260 · doi:10.1070/SM1970v012n02ABEH000920
[52] Rivin I. 1996 A characterization of ideal polyhedra in hyperbolic 3-space Ann. of Math. (2)143 51-70 · Zbl 0874.52006 · doi:10.2307/2118652
[53] Thurston W. 1980 The geometry and topology of three-manifolds
[54] Gromov M. 1981 Hyperbolic manifolds according to Thurston and Jørgensen Séminaire N. Bourbaki842 40-53 · Zbl 0452.51017 · doi:10.1007/BFb0089927
[55] Ziegler G. M. 1995 Grad. Texts in Math.152 (New York: Springer-Verlag) · doi:10.1007/978-1-4613-8431-1
[56] Brinkmann G., Greenberg S., Greenhill C., McKay B. D., Thomas R. and Wollan P. 2005 Generation of simple quadrangulations of the sphere Discrete Math.305 33-54 · Zbl 1078.05023 · doi:10.1016/j.disc.2005.10.005
[57] Al-Jubouri N. K. 1980 On non-orientable hyperbolic 3-manifolds Quart. J. Math. Oxford Ser. (2)31 9-18 · Zbl 0404.57008 · doi:10.1093/qmath/31.1.9
[58] Alon N. and Marshall T. H. 1998 Homomorphisms of edge-colored graphs and Coxeter groups J. Algebraic Combin.8 5-13 · Zbl 0911.05034 · doi:10.1023/A:1008647514949
[59] Appel K. and Haken W. 1989 Contemp. Math.98 (Providence, RI: Amer. Math. Soc.) · doi:10.1090/conm/098
[60] Nakayama H. and Nishimura Y. 2005 The orientability of small covers and coloring simple polytopes Osaka J. Math.42 243-256 · Zbl 1065.05041
[61] Изместьев И. В. 2001 Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника Матем. заметки69 375-382 · doi:10.4213/mzm511
[62] Magnus W., Karrass A. and Solitar D. 1966 Pure Appl. Math.13 (New York-London-Sydney: Interscience Publishers [John Wiley & Sons, Inc.])
[63] Maclachlan C. and Reid A. W. 2003 Grad. Texts in Math.219 (New York: Springer-Verlag) · doi:10.1007/978-1-4757-6720-9
[64] Веснин А. Ю. 1991 Трехмерные гиперболические многообразия с общим фундаментальным многогранником Матем. заметки49 29-32 · doi:10.1007/BF01156579
[65] Takeuchi K. 1977 Arithmetic triangle groups J. Math. Soc. Japan29 91-106 · Zbl 0344.20035 · doi:10.2969/jmsj/02910091
[66] Antolin-Camarena O., Maloney G. R. and Roeder R. K. W. 2009 Computing arithmetic invariants for hyperbolic reflection groups Complex dynamics 597-631 · Zbl 1202.51020 · doi:10.1201/b10617-22
[67] Garrison A. and Scott R. 2003 Small covers of the dodecahedron and the 120-cell Proc. Amer. Math. Soc.131 963-971 · Zbl 1009.57019 · doi:10.1090/S0002-9939-02-06577-2
[68] Reni M. 1997 Dihedral branched coverings of hyperbolic orbifolds Geom. Dedicata67 271-283 · Zbl 0883.57002 · doi:10.1023/A:1004905226581
[69] Медных А. Д. 1985 Группы автоморфизмов трехмерных гиперболических многообразий Докл. АН СССР285 40-44
[70] Borel A. 1981 Commensurability classes and volumes of hyperbolic 3-manifolds Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (4)8 1-33 · Zbl 0473.57003
[71] Бухштабер В. М., Ероховец Н. Ю., Масуда М., Панов Т. Е. and Пак С. 2017 Когомологическая жёсткость многообразий, задаваемых трёхмерными многогранниками УМН72 3-66 · doi:10.4213/rm9759
[72] Матвеев С. В. and Фоменко А. Т. 1988 Изоэнергетические поверхности гамильтоновых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрастания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических многообразий УМН43 5-22 · doi:10.1070/RM1988v043n01ABEH001554
[73] Weeks J. 1985 Ph.D. thesis Princeton Univ.
[74] Mednykh A. D. and Vesnin A. Yu. 2007 Löbell manifolds revised Sib. Èlektron. Mat. Izv.4 605-609 · Zbl 1132.57300
[75] Веснин А. Ю., Матвеев С. В. and Фоминых Е. А. 2011 Сложность трехмерных многообразий: точные значения и оценки Сиб. электрон. матем. изв.8 341-364
[76] Веснин А. Ю., Матвеев С. В. and Петронио К. 2007 Двусторонние оценки сложности многообразий Лёбелля Докл. РАН416 295-297 · doi:10.1134/S1064562407050134
[77] Matveev S., Petronio C. and Vesnin A. 2009 Two-sided asymptotic bounds for the complexity of some closed hyperbolic three-manifolds J. Aust. Math. Soc.86 205-219 · Zbl 1178.57013 · doi:10.1017/S1446788708000499
[78] Веснин А. Ю. and Медных А. Д. 1999 Трехмерные гиперболические многообразия малого объема с тремя гиперэллиптическими инволюциями Сиб. матем. журн.40 1035-1051 · doi:10.1007/BF02674717
[79] (ed.) R. Kirby 1997 Problems in low-dimensional topology Geometric topology2.2 35-473
[80] Kardoš F. 2014 A computer-assisted proof of a Barnette’s conjecture: not only fullerene graphs are hamiltonian arXiv:1409.2440v1
[81] Culler M., Dunfield N., Goerner M. and Weeks J. 2017 (v1 - 2009), SnapPy – a computer program for studying the geometry and topology of 3-manifolds
[82] Ball W. W. R. and Coxeter H. S. M. 1974 Mathematical recreations & essays (Toronto, ON: Univ. of Toronto Press) · doi:10.3138/9781442656529
[83] Гринберг Э. Я. 1968 Плоские однородные графы степени три без гамильтоновых циклов Латв. матем. ежегодник4 (Рига: Зинатне) 51-58 arXiv:0908.2563
[84] Kolpakov A. and Martelli B. 2013 Hyperbolic four-manifolds with one cusp Geom. Funct. Anal.23 1903-1933 · Zbl 1283.57022 · doi:10.1007/s00039-013-0247-2
[85] Görner M. 2015 Regular tessellation link complements Experimental Math.24 225-246 · Zbl 1319.57002 · doi:10.1080/10586458.2014.986310
[86] Lackenby M. 2004 The volume of hyperbolic alternating link complements Proc. London Math. Soc. (3)88 204-224 · Zbl 1041.57002 · doi:10.1112/S0024611503014291
[87] Chesebro E., DeBlois J. and Wilton H. 2012 Some virtually special hyperbolic 3-manifold groups Comment. Math. Helv.87 727-787 · Zbl 1283.57007 · doi:10.4171/CMH/267
[88] Hatcher A. 1983 Hyperbolic structures of arithmetic type on some link complements J. London Math. Soc. (2)27 345-355 · Zbl 0516.57001 · doi:10.1112/jlms/s2-27.2.345
[89] Long D. D. and Reid A. W. 2002 All flat manifolds are cusps of hyperbolic orbifolds Algebr. Geom. Topol.2 285-296 · Zbl 0998.57038 · doi:10.2140/agt.2002.2.285
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.