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On the uniform convergence of series. (Sur la convergence uniforme des séries.) (Swedish) JFM 28.0219.01

Stockh. Öfv. 54, 605-622 (1897).
Der Verf. giebt zuerst ein einfaches Mittel zur Construction einfach gleichmässig convergirender Reihen für continuirliche Functionen (Definition von Dini). Solche Reihen definiren bekanntlich continuirliche Functionen. Durch ein Beispiel wird gezeigt, dass die Umkehrung dieses Satzes, namentlich dass eine Reihe continuirlicher Functionen, welche eine continuirliche Function darstellt, einfach gleichmässig convergent sei, nicht wahr ist.
Bezüglich der einfach gleichmässig convergenten Reihen werden dann zwei einfache Sätze abgeleitet, welche analog mit bekannten Sätzen über Differentiation und Integration von Reihen sind.
Dann wird folgendes Theorem dargelegt (das auch ein Analogon bei den einfach gleichmässig convergenten Reihen hat):
Es sei \(\varphi(x)=\sum\limits_{\nu=1}^\infty f_\nu (x)\) eine Reihe, die für \(\alpha\leqq x\leqq\beta\) convergirt, und in der \(f_\nu (x)\) continuirliche Functionen sind, welche für diese Werte von \(x\) erste Derivirte besitzen. Es sei möglich, eine positive Zahl \(G\) zu bestimmen, welche die Eigenschaft besitzt, dass \[ \left|\sum_{\nu=1}^m f_\nu'(x)\right|<G \] ist für jeden Wert von \(m\) und für \(\alpha\leqq x\leqq\beta\). Dann ist die Reihe \(\sum\limits_{\nu=1}^\infty f_\nu (x)\) gleichmässig convergent im Intervalle \(\alpha\leqq x\leqq\beta\).
Der Verf. giebt dann eine Anwendung dieses Satzes auf die mittels der Methode der successiven Annäherungen ausgeführte Bestimmung der Integrale des Systems: \[ \begin{aligned} \frac{dy_1}{dx} &= f_1(x,y_1,y_2,\dots,y_n),\\ &\cdots\cdots\\ \frac{dy_n}{dx} &= f_n(x,y_1,y_2,\dots,y_n),\end{aligned} \] welche so beschaffen sind, dass \(y_1,y_2,\dots,y_n\) für \(x=x_0\) sich auf die Anfangswerte \(y_{10},y_{20},\dots,y_{n0}\) reduciren, wenn \(f_1,f_2,\dots,f_n\) continuirlich sind im Gebiete \(|x-x_0|\leqq a\), \(|y_\nu-y_{\nu0}|\leqq b\) \((\nu=1,2, \dots,n)\), aber die Bedingung von Lipschitz nicht (notwendig) gilt.
Es folgt leicht aus dem obigen Satze: wenn die im gewöhnlichen Sinne gebildeten Reihen von Annäherungen convergiren, falls \[ |x-x_0|\leqq\varrho_1<\varrho,\text{ und }\varrho<a,\,\frac bM \] [\(M\) ist das Maximum von \(|f_1|\), \(|f_2|\), ..., \(|f_n|\), wenn \(|x-x_0|\leqq a\), \(|y_\nu-y_{\nu0}|\leqq b\)], so convergiren sie auch gleichmässig für diese Werte von \(x\) und stellen die Integrale mit den gegebenen Anfangswerten dar.
In dem Falle, dass die Functionen \(f_1,f_2,\dots,f_n\) positiv sind und zunehmen, wenn irgend eine der Variabeln \(y_1,y_2,\dots,y_n\) zunimmt, für Werte der Variabeln, welche den Bedingungen \(|x-x_0|\leqq a\), \(|y_\nu- y_{\nu0}|\leqq b\) \((\nu=1,2, \dots,n)\) genügen, ist es leicht, zu sehen, dass die Approximationen convergiren. Nach dem Gesagten stellen sie dann Integrale dar. (Durch ein Beispiel wird gezeigt, dass auch andere Integrale mit den gegebenen Anfangsbedingungen existiren können, wenn die Bedingung von Lipschitz nicht gilt; vergl. Peano, Math. Ann. 37 (F. d. M. 22, 302, 1890, JFM 22.0302.01).
Eine andere Anwendung ist die folgende. Man betrachte die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx}=f(x,y)\), wo \(f(x,y)\) continuirlich und positiv ist und abnimmt, wenn \(y\) wächst unter der Bedingung \(|x- x_0|\leqq a\), \(|y_\nu-y_{\nu0}|\leqq b\). (Die Lipschitz’sche Bedingung nicht notwendig erfüllt.)
Wir bilden die successiven Annäherungen (für die Darstellung eines Integrals mit den Anfangswerten \(x_0\), \(y_0\)).
Die Annäherungen von ungerader Ordnung convergiren gegen einen bestimmten Grenzwert \(u_1\), die von gerader Ordnung gegen einen anderen \(u_2\) \((u_2\leqq u_1)\). Der obige Lehrsatz ergiebt, dass diese Reihen gleichmässig convergent sind, wenn \(|x-x_0|\leqq\varrho\). Man sieht dann, dass sie Integrale des Systems sind: \[ \left\{\begin{aligned} \frac{du_1}{dx} &= f(x,u_2),\\ \frac{du_2}{dx} &= f(x,u_1).\end{aligned}\right. \]

MSC:

34A12 Initial value problems, existence, uniqueness, continuous dependence and continuation of solutions to ordinary differential equations

Citations:

JFM 22.0302.01