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Ein elementarer Beweis des kubischen Reziprozitätsgesetzes. (German) Zbl 0104.26501

Ref. [Comment. Math. Helv. 16, 264–265 (1944; Zbl 0060.08607)] hat den fünften (auf dem Gaußschen Lemma beruhenden) Beweis von Gauß des quadratischen Reziprozitätsgesetzes durch Einführung eines passenden Formalismus durchsichtiger gemacht. Zum Ausgang reproduziert Verf. diesen Beweis in einer Form, nach der er dann auch einen neuen Beweis des Eisensteinschen Reziprozitätsgesetzes für den dritten Kreisteilungskörper einrichten kann. Dieser schöne Beweis beruht ebenfalls auf dem Gaußschen Lemma (für den kubischen Fall), das wohl schon Eisenstein aufgestellt, aber in seinem Beweis des kubischen Reziprozitätsgesetzes nicht verwendet hat. An Stelle der „Halbsysteme“ im originalen Gaußschen Lemma treten dabei gewisse „Drittelsysteme“ auf, die auf der Gaußschen Zahlenebene durch die Gitterpunkte von gleichseitigen Dreiecken (eines ebenen Dreiecksgitters) repräsentiert werden. Als Vorbereitung des Beweises macht Verf. kombinatorisch-topologische Hilfsbetrachtungen in der Ebene. Der Beweis ist sehr durchsichtig und scheint verallgemeinerungsfähig zu sein. Auch die Ergänzungssätze werden auf ähnlichem Wege bewiesen.

MSC:

11A15 Power residues, reciprocity
11R16 Cubic and quartic extensions

Citations:

Zbl 0060.08607
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Eisenstein, G.: Beweis des Reziprozitätssatzes für die kubischen Reste in der Theorie der aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. J. Math.27, 289-310 (1844). · ERAM 027.0801cj
[2] Eisenstein, G.: Nachtrag zum kubischen Reziprozitätssatze für die aus dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten komplexen Zahlen. Kriterien des kubischen Charakters der Zahl 3 und ihrer Teiler. J. Math.28, 28-29 (1844). · ERAM 028.0811cj
[3] Redei, L.: Kurze Darstellung des fünften Gaußschen Beweises für den quadratischen Reziprozitätssatz. Comm. math. helvet.16, 264 (1943). · Zbl 0060.08607 · doi:10.1007/BF02568578
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