×

Main laws of convergence of iterations and their analytic applications. (Hauptsächliche Gesetze der Konvergenz der Iterationen und deren analytische Anwendungen.) (Russian) JFM 35.0398.01

Kasan Ges. (2) 13; Nr. 1, 1-37; 14, Nr. 2, 155-200; Nr. 3, 201-234 (1904).
Der Verf. hat schon mehrere Arbeiten über Iterationen veröffentlicht (vgl. F. d. M. 28, 344, 1897, JFM 28.0344.02; 29, 372, 1898, JFM 29.0372.05; 30, 351, 1899, JFM 30.0351.01). Jetzt gibt er eine systematische Übersicht seiner früheren und neueren Leistungen. In der Einleitung werden verschiedene Arbeitsrichtungen besprochen (die von Babbage, Hoppe, Farcas, Korkin). Der Verf. schließt sich jetzt den letzteren an, indem er den Inbegriff der Iterationen einer Funktion als Funktionsgruppe auffaßt. Dann erscheint die von Korkin eingeführte Funktion \(\lambda(z)\) (Darboux Bull. (2) 6 228, 1882) als infinitesimale Transformation. Die Fragen über die Periodizität der Iterationen und über deren Konvergenz erscheinen damit nur als Nebenfragen. Hauptsache wird die Konstruktion der Funktionsgruppe, welche die gegebene Funktion als Element in sich begreift. In der zurzeit abgedruckten Abhandlung untersucht der Verf. die Gesetze der regulären Konvergenz der Iterationen und ihre analytische Bedeutung. Im Kapitel 1 wird der Bereich von \(x\) untersucht, welcher die Bedingungen erfüllt: \[ f(x) - x = 0,\quad 0 < |f^{(1)}(x)| < 1 \]
\[ (\text{wo }f^{(1)}(x) = \lim{}_R\frac{f(z)-x}{z-x},\,|z-x| < R). \] Im zweiten Kapitel werden die Bedingungen gestellt: \[ f(x) - x = 0,\quad f^{(1)}(x) = f^{(2)}(x) =\cdots= f^{(m-1)}(x) = 0 \] und die Eigenschaften des betreffenden Bereiches untersucht, die unbedingt konvergenten Reihen und Produkte, die Algorithmen von Koenigs und Lémeray, deren Entwicklungen in Reihen und Produkte besprochen. In Kapitel 3 geschieht die Untersuchung der Stelle \(x\): der Bedingungen \[ f(x) - x = 0,\quad f^{(1)}(x) = 1;\quad f^{(2)}(x) =\cdots= f^{(p)}(x) = 0. \] Hier wird der Bereich nicht mehr einfach zusammenhängend, wie in den beiden ersten Fällen; wohl aber führt die Frage nach der Existenz der Ungleichung \(|f(z) - x| < |z - x|\) zu dem Schluß, daß das Nachbargebiet von \(x\) in \(2p\) Sektoren von positiver und negativer Konvergenz zerfällt (je nachdem \(\lim\limits_{n=+\infty} f_n(z) = x\) oder \(\lim\limits_{n=-\infty} f_n(z) = x\)). Es erscheinen dann Demarkationsstrahlen und Bereiche, wo \(\lim\limits_{n=+\infty} f_n(z) = x\). Wir erwähnen noch den polynomialen Algorithmus von Léau und seine Anwendung zur Konstruktion des Algorithmus von Koenigs und zur Untersuchung der Elemente \(\left(\frac1{z_n-x}\right)^q\) \((q=1,2,\dots,p-1,p)\). Es werden zwei weitere Abschnitte versprochen: II. Rhythmische Konvergenz und III. Transzendente Konvergenz.

MSC:

37F10 Dynamics of complex polynomials, rational maps, entire and meromorphic functions; Fatou and Julia sets