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Differential calculus and characteristic classes in algebraic geometry. (Calcul différentiel et classes caractéristiques en géométrie algébrique.) (French) Zbl 0749.14008
Travaux en Cours. 38. Paris: Hermann. 129 p. (1989).
Au chapitre I, les deux premiers paragraphes sont consacrés aux notions de différentielles d’un morphisme et de composition de différentielles. Ils ont surtout le but d’introduire les techniques de calcul différentiel développées systématiquement dans la suite. Au §3, nous définissons les classes fondamentales \(\gamma^ i_{M^ \bullet}\) d’un complexe \(M^ \bullet\) de \(R\)-modules de type fini, \(R\) étant une \(k\)-algèbre. Let §4 considère le cas où \(M^ \bullet\) est réduit à un seul module et où \(R\) est différentiellement lisse sur \(k\). Au §5, nous obtenons la classe fondamentale relatives d’un schéma localement nœthérien de type fini (resp. un espace analytique) plat au-dessus de la base à partir des classes précédentes. Au §6, le lien avec les traces de différentielles de B. Angeniol [“Familles de cycle algébriques. Schéma de Chow”, Lect. Notes Math. 896 (1981; Zbl 0496.14004)] est éclairci. Au §7, la fonctorialité des classes fondamentales \(\gamma^ i_{M^ \bullet}\) est étudiée (vis-à-vis de \(\otimes\), de l’image réciproque, des suites exactes). Au §8, nous montrons comment l’évaluation (ou image par le morphisme résidu) de la classe fondamentale de hauteur maximum de \(M^ \bullet\) complexe à cohomologie de longueur finie fournit sa caractéristique d’Euler-Poincaré. Un appendice est consacré à la liaison.
Au chapitre II, nous construisons au §1 les classes fondamentales globales ou classes d’Atiyah, au §2 les classes de Newton et les classes de Chern d’un complexe parfait. Au §3, des exemples de calcul de classes de Chern et de classes fondamentales de sous-schémas sont donnés. Le §4 est consacré aux propriétés fonctorielles de ces classes. Nous utilisons la caractérisation de la classe fondamentale d’un sous- schéma obtenue au chapitre 1 pour montrer directement des résultats classiques sur les classes de Chern des fibrés vectoriels, par exemple la formule de self intersection. Dans un court appendice, quelques conséquences pour la théorie de l’intersection locale et globale sont esquissées.
Reviewer: Reviewer (Berlin)

MSC:
14F10 Differentials and other special sheaves; D-modules; Bernstein-Sato ideals and polynomials
13N05 Modules of differentials
14-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to algebraic geometry
13-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to commutative algebra
57R20 Characteristic classes and numbers in differential topology
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