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About the determinant relating to several functions of one varaible. (Ueber die Determinante mehrerer Funktionen einer Variablen.) (German) JFM 06.0087.03

Die Beziehungen zwischen den Integralen und Multiplicatoren einer linearen Differentialgleichung sind in der letzten Zeit mahrfach Gegenstand der Betrachtug gewesen. Die vorliegende Arbeit hat den Zweck, diese Beziehungen zusamenzustellen. Die betreffenden Sätze, welche nicht mit Hülfe der Theorie der linearen Differentialgleichungen bewiesen werden, bilden eine Theorie der Determinanten, welche aus \(\lambda\) Functionen einer Veränderlichen und ihren Ableitungen bis zur \(\lambda-1^{\text{ten}}\) Ordnung gebildet sind. Die Multiplicatoren sind nämlich, wie der Verfasser zeigt, Quotienten zweier solcher Determinanten. Der Hauptsatz, von welchem alle übrigen abgeleitet werden, ist folgender:
Bezeichnet \(D(y_1\;y_2\;\cdots\;y_\lambda)\) die Determinante \[ \left|\begin{matrix}\l & \l & \quad & \l\\ y_1 & y_2 & \cdots & y_\lambda\\ y_1^{(')} & y_2^{(')}& \cdots & y_\lambda^{(')}\\ \hdotsfor4\\ y_1^{(\lambda-1)} & y_2^{(\lambda-1)} & \cdots & y_\lambda^{(\lambda-1)}\end{matrix}\right| \]
\[ \left( y_1\cdots y_\lambda\;\text{Functionen von \(x\) und }\;y_\alpha^{(\beta)}=\frac{d^\beta y_\alpha}{dx^\beta} \right)\,. \] Ist ferner \[ w_1=D(u_1u_2\cdots u_\mu v_1),\;w_2=D(u_1u_2\cdots u_\mu v_2)\cdots \]
\[ w_\nu=D(u_1\cdots u_\mu v_\nu), \]
\[ (u_1\cdots u_\mu v_1 \cdots v_\nu \text{ Functionen von}\;x), \] so ist \[ D(u_1u_2\cdots u_\mu v_1\cdots v_\nu)= \frac {D(w_1w_2\cdots w_\nu)} {D(u_1u_2\cdots u_mu)^{\nu-1}}\,. \] Führt man den Ausdruck ein: \[ z_k=(-1)^{\lambda+k} \frac {D(y_1\cdots y_{k-1},y_{k+1}\cdots y_\lambda)} {D(y_1,y_2\cdots y_\lambda)} \] so ergiebt sich, dass \[ y_k=(-1)^{k-1} \frac {D(z_1z_2\cdots z_{k-1}z_{k+1}\cdots z_\lambda)} {D(z_1z_2\cdots z_\lambda)}, \] in Folge dessen nennt der Verfasser, einer von Herrn Fuchs (Borchardt J. LXXVI.) gebrauchten Bezeichnung folgend, \(z_1\cdots z_\lambda\) die den Functionen \(y_1\cdots y_\lambda\) adjungirten Functionen. Zwei Systeme adjungirter Functionen haben die Eigenschaft, dass jedes die Multiplicatoren der linearen Differentialgleichung enthält, deren Integrale die Functionen des anderen sind, und in welcher der Coefficient der höchstn Ableitung gleich 1 ist. Ferner gilt der Satz: Sind \(y_1\cdots y_\lambda\) von einander unabhängige Integrale der homogenen linearen Differentialgleichung \(\lambda^{\text{ter}}\) Ordnung \(P(y)=0\), so ist \[ y=y_1\int z_1pdx+y_2\int z_2pdx+\cdots+y_\lambda\int z_\lambda pdx \] das allgemeine Integral der vollständigen Differentialgleichung \(P(y)=p\). Bemerkenswerthe Relationen, in denen die Reciprocität der adjungirten Functionen hervortritt, sind noch folgende:
1) \(D(y_1, y_2\cdots y_\lambda)\cdot D(z_1 z_2\cdots z_\lambda)=1.\)
2) Bedeutet \(\alpha\beta\gamma\cdots\varrho,\varsigma,\tau\cdots\) eine Permutation der Zahlen \(1,2\cdots\lambda\), so ist \[ D(y_\alpha y_\beta y_\gamma \cdots)=\varepsilon D(z_\varrho z_\varsigma z_\tau \cdots) D(y_1 y_2\cdots y_\lambda) \] und \[ D(z_\alpha z_\beta z_\gamma \cdots)= \varepsilon D(y_\varrho y_\varsigma y_\tau \cdots) D(z_1 z_2\cdots z_\lambda), \] wo \(\varepsilon=+1\) oder \(-1\) ist, je nachdem die Permutation zur ersten oder zweiten Klasse gehört.
Wird \[ P'(z)=(-1)^\lambda \frac {D(z_1 z_2\cdots z_\lambda)} {D(z_1 z_2\cdots z_\lambda)} \] gesetzt, so ergiebt sich die Jacobi’sche Gleichung \[ \frac{d}{dx}zP(y)-(-1)^\lambda y D'(z)=\frac{d}{dx}\,P(y,z). \] Für \(P(y,z)\) wird folgender merkwürdige Ausdruck in Determinantenform gegeben: \[ P(y,z)=-\left|\begin{matrix} \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ 0 & z & z^{(1)} & \cdots & z^{(\lambda-1)}\\ y & s_{00} & s_{01} & \cdots & s_{0,\lambda-1}\\ y^{(1)} & s_{10} & s_{11} & \cdots & s_{1,\lambda-1}\\ \;\vdots\\ y^{(\lambda-1)} & s_{\lambda-1,0} & s_{\lambda-1,1} & \cdots & s_{\lambda-1,\lambda-1}\end{matrix}\right| \] wo \[ s_{\alpha\beta}= y_1^{(\alpha)}z_1^{(\beta)}+ y_2^{(\alpha)}z_2^{(\beta)}+ \cdots+ y_\lambda^{(\alpha)}z_\lambda^{(\beta)}, \] und zwar ist \(s_{\alpha\beta}=0\), wenn \(\alpha+\beta<\lambda-1\) und \(=(-1)^\beta\), wenn \(\alpha+\beta=\lambda-1\) ist. Zum Schluss wird noch ein Satz abgeleitet, den der Verfasser bereits (Borchardt J. LXXVI. p. 265, vergl. auch Thomé Borch. J. LXXVI. p. 277 F. d. M. V. 74 u. f.; JFM 05.0074.01), bewiesen hat. Er lautet:
Die Multiplicatoren der linearen Differentialgleichung \[ v_\lambda\, \frac{d}{dx} v_{\lambda-1}\, \frac{d}{dx} \cdots \frac{d}{dx}v_1 \frac{d}{dx}\,v_0y=0 \] genügen der linearen Differentialgleichung \[ v_0 \,\frac{d}{dx} v_1 \,\frac{d}{dx} \cdots \frac{d}{dx} v_{\lambda-1} \,\frac{d}{dx}\, v_\lambda z=0. \]

MSC:

15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions
26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
08A02 Relational systems, laws of composition
34A30 Linear ordinary differential equations and systems
34-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to ordinary differential equations
03B05 Classical propositional logic
26A06 One-variable calculus
20B05 General theory for finite permutation groups
14R15 Jacobian problem

Citations:

JFM 05.0074.01
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Full Text: Crelle