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On the decomposition of numbers by means of their greatest common divisors. (Ueber Zerlegungen von Zahlen durch ihre grössten gemeinsamen Teiler.) (German) JFM 28.0186.04

Braunschw. Festschr. 1-40 (1897).
Sind \(a\), \(b\), \(c\) irgend drei ganze positive Zahlen des grössten gemeinsamen Teilers \(d\), und sind bez. \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\) die grössten gemeinsamen Teiler von \(b\) und \(c\), von \(c\) und \(a\) und endlich von \(a\) und \(b\), so ist \(d\) offenbar auch der grösste gemeinsame Teiler irgend zweier unter den drei Zahlen \(a_1\), \(b_1\), \(c_1\). Setzt man sonach \(a_1=da'\), \(b_1=db'\), \(c_1=dc'\), so sind unter den drei Zahlen \(a'\), \(b'\), \(c'\) je zwei relativ prim, und also würde \(db'c'\) das kleinste gemeinschaftliche Vielfache von \(b_1\) und \(c_1\) sein u. s. w. Als solches wird \(db'c'\) in \(a\) aufgehen; es wird sonach drei weitere ganze Zahlen \(a''\), \(b''\), \(c''\) geben, welche die folgenden Zerlegungen der gegebenen Zahlen \(a\), \(b\), \(c\) liefern: \[ a=db'c'a''\,,\quad b=dc'a'b''\,,\quad c=da'b'c''\,. \] Die sieben Zahlen \(a'\), \(b'\), \(c'\), \(a''\), \(b''\), \(c''\), \(d\) heissen die ,,Kerne” des Systems \(a\), \(b\), \(c\), und die eben angegebene Darstellung des Systems in den Kernen ist das erste Ziel der Entwickelung. Das vom Verf. in der vorliegenden Arbeit gelöste Problem besteht in einer äusserst weitgehenden Verallgemeinerung dieses Ansatzes, und zwar nach zwei Richtungen hin.
Erstlich treten an Stelle von drei gegebenen ganzen Zahlen deren \(n\), wo \(n\) eine ganz beliebige Anzahl bedeutet. Es lässt sich dann wieder (wie der Verf. zunächst noch explicite für \(n=4\) zeigt) durch fortgesetztes Bilden grösster gemeinsamer Teiler eine Reihe ganzzahliger ,,Kerne” des gegebenen Systems gewinnen, aus denen sich die Zahlen dieses Systems in gewisser Weise multiplicativ zusammensetzen.
Die zweite Verallgemeinerung aber besteht darin, dass an Stelle des Systems aller ganzen positiven Zahlen, dem die bisherigen Systeme entnommen waren, die Elemente einer in gewisser Weise beschränkten, übrigens beliebigen Abel’schen Gruppe unendlich hoher Ordnung treten. Die Beschränkung besteht darin, dass neben der Multiplication (Combination) der Elemente, welche eben die Gruppeneigenschaft begründet, noch eine zweite, der Aufsuchung des grössten gemeinsamen Teilers zweier ganzen Zahlen entsprechende Operation gegeben sein muss, welche gleichfalls aus je zwei Elementen der Gruppe ein drittes erzeugt und alsdann zur Handhabe für die Bildung des ,,Kernes” eines Systems von \(n\) Elementen der Gruppe wird. Diese zweite Operation nennt der Verf. ,,Addition” und deutet sie durch das Symbol \(+\) an.
Es zeigt sich, dass bei einer Abel’schen Gruppe fraglicher Art dann immer noch eine dritte, symbolisch durch \(-\) angedeutete, Operation existirt, wobei die Operationen \(\pm\) (grösster gemeinsamer Teiler, kleinstes gemeinsames Vielfaches) in der dualistischen Beziehung stehen, dass sie gänzlich analogen Gesetzen gehorchen. Die in Rede stehenden Abel’schen Gruppen ordnen sich in diesem Sinne dem allgemeinen vom Verf. eingeführten Begriffe der ,,Dualgruppen” unter, deren Grundgesetze in §4 des vorliegenden Aufsatzes besprochen werden.
Eine der einfachsten, aber für die Durchführung des vorgelegten Problems wichtigsten Dualgruppen wird von allen \(2^n\) ,,Combinationen” von irgend \(n\) Elementen geliefert, wobei die Reihenfolge der Elemente in der einzelnen Combination gleichgültig ist und die ,,Combination \(0^{\text{ten}}\) Grades”, welche kein Element umfasst, auch mitzählt. Sind \(\alpha\) und \(\beta\) irgend zwei der \(2^n\) Combinationen, so sind ,,Summe” \(\alpha+\beta\) und ,,Durchschnitt” \(\alpha-\beta\) derselben zwei Combinationen, von denen die erste sowohl die in \(\alpha\) als die in \(\beta\) enthaltenen Elemente und nur diese umfasst, die zweite aber die in \(\alpha\) und \(\beta\) zugleich enthaltenen Elemente. Der dualistische Charakter der beiden Operationen spricht sich in den nachfolgenden Grundgesetzen: \[ \begin{alignedat}{2} \alpha+\beta &= \beta+\alpha,&\qquad \alpha-\beta &= \beta-\alpha,\\ (\alpha+\beta)+\gamma &= \alpha+(\beta+\gamma),&\qquad (\alpha-\beta)-\gamma &= \alpha-(\beta-\gamma),\\ \alpha+(\alpha-\beta) &= \alpha,&\qquad \alpha-(\alpha+\beta) &= \alpha \end{alignedat} \] aus, welche man leicht aus der Bedeutung der Operationen \(\pm\) folgert.
Wegen der wirklichen Durchführung der Darstellung der Elemente eines aus der Abel’schen Gruppe entnommenen Systems in den zugehörigen ,,Kernen” ist auf §7 der vorliegenden Abhandlung zu verweisen.

MSC:

06C05 Modular lattices, Desarguesian lattices
11A05 Multiplicative structure; Euclidean algorithm; greatest common divisors