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On linear operations. (Sur les opérations linéaires.) (French) JFM 35.0389.03

Unter linearen Operationen werden hier mit Hadamard (C. R. 136, 351-354; F. d. M. 34, 419-420, 1903, JFM 34.0419.06) Operationen \(U\) von der Art verstanden, daß sie distributiv sind, d. h. der Gleichung genügen: \[ U_{f_1+f_2} = U_{f_1} + U_{f_2}, \] wo \(f_1\) und \(f_2\) zwischen \(a\) und \(b\) stetig sind, und daß sie stetig sind, d. h. so beschaffen, daß \(U_{f_1}\) sich \(U_{f_2}\) nähert, wenn \(f_1\) sich zwischen \(a\) und \(b\) gleichförmig \(f_2\) nähert. Hadamard hat (a. a. O.) gezeigt, daß jede lineare Operation sich in der Form darstellen läßt: \[ U_f = \lim_{n=\infty} \int_a^b f(x)K_n(x)dx, \] wo \(K_n(x)\) zwischen \(a\) und \(b\) eine stetige Funktion von \(x\) ist.
Der Verf. der vorliegenden Abhandlung gibt nun einen neuen Beweis dieses Hadamardschen Satzes, indem er gleichzeitig eine sehr allgemeine Reihenentwicklung für \(U_f\) herleitet. Insbesondere gelingt es ihm, mit Benutzung des Cesàroschen Begriffes des generalisierten Limes einer Reihe und des daraus sich ergebenden Begriffes der generalisierten Summe einer unendlichen Reihe zu zeigen, daß eine Entwicklung der Form \[ U_f = \frac{\pi}2(2a_0u_0 + a_1u_1 +\cdots+ a_nu_n +\cdots), \] wo \[ a_0 = \frac1{\pi} \int_0^\pi f(x)dx,\quad a_n = \frac2{\pi} \int_0^\pi f(x)\cos(nx)dx \] und \[ u_0 = \frac1{\pi}U_1,\quad u_n = \frac2{\pi}U\cos nx\qquad (n=1,2,\dots) \] gesetzt ist, für jede zwischen 0 und \(\pi\) stetige Funktion \(f(x)\) gilt, vorausgesetzt, daß man die Summe der Reihe durch die generalisierte Summe ersetzt.

MSC:

47A67 Representation theory of linear operators

Citations:

JFM 34.0419.06
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