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About some fundamental theorems of modern algebra. (Sur quelques théorèmes fondamentaux de l’algèbre moderne.) (French) JFM 06.0090.02

Um die Invariantentheorie, ähnlich wie Arnhold, auf die Transformationsrelationen, aber in einfacherer Weise zu begründen, schlägt der Verfasser vorliegender Abhandlung ungefähr folgenden Weg ein. Um eine Form \(A\;p^{\text{ten}}\) Grades mit \(n\) Variabeln, deren Coefficienten \(a\) seien, in eine andere \(B\) mit den Coefficienten \(b\) zu transformiren, müssen Beziehungen bestehen von der Form \[ A_0'B_0+A_1'B_1+\cdots+A_\nu'B_\nu=0. \] Geht eine Form \(C\) mit den Coefficienten \(c\) aus der \(B\) durch eine lineare Substitution hervor, so muss ebenso die Gleichung bestehen \[ A_0'C_0+A_1'C_1+\cdots+A_1'C_1=0, \] wobei die \(C_\lambda\) aus den \(c\) auf dieselbe Art gebildet sind, wie die \(B_\lambda\) aus den \(b\). Daraus schliesst nun der Verfasser, dass eine durch Elimination von \(A_0'\) gebildete Gleichung identisch bestehen muss, und dass daher die Transformationsrelationen sich in Beziehungen von der Form \(\frac{B_1}{B_0}=\frac{C_1}{C_0}\) auflösen. Nachdem so die Existenz der absoluten Invarianten dargethan ist, ergeben sich wie bei Aronhold und Clebsch die Invarianten selbst.
Wenn man nun für eine Invariante eines Formensystems die Gleichung aufstellt, welche aussagt, dass die Function sich bei der Transformation nur um eine Potenz der Substitutionsdeterminante ändert, und nun die Transformationscoefficienten durch \(n\) Systeme von Variabeln \(xyz\) ersetzt, so ergiebt sich, dass jede Invariante sich rational aus Polaren der gegebenen Formen zusammensetzen lässt, und dass umgekehrt jede ganze rationale Function, die aus einem Aggregat von Polaren durch Division mit der Determinante der eingeführten Variabelnsysteme \(xyz\) entstenden ist, entweder eine Invariante oder Covariante des Formensystems ist.
Für specielle Formen zeigt dann der Verfasser, dass alle Relationen zwischen den Coefficienten eines Formensystems, die durch lineare Transformation sich nicht ändern, entweder Invarianten sind oder durch das identische Verschwinden von Covarianten dargestellt werden, die man erhält, wenn man in den transformirten Relationen die Substitutionscoefficienten durch \(n\) Reihen von Variabeln ersetzt.
Damit wird denn bewiesen, dass für die Möglichkeit der Transformation zweier Formensysteme in einander nothwendig und hinreichend ist: die Gleichheit der absoluten Invarianten und das identische Verschwinden derselben Covarianten.
Zuletzt wird eine Anwendung gemacht auf die ternäre cubische Form \(a\) und abgeleitet, dass die Bedingung dafür, dass diese Form ein Cubus ist, im identischen Verschwinden der Zwischenform \((abc)^2a_1b_1\) besteht.

MSC:

16P10 Finite rings and finite-dimensional associative algebras
03B05 Classical propositional logic
16W22 Actions of groups and semigroups; invariant theory (associative rings and algebras)
11E76 Forms of degree higher than two
15A63 Quadratic and bilinear forms, inner products
15A04 Linear transformations, semilinear transformations
17-08 Computational methods for problems pertaining to nonassociative rings and algebras
11E10 Forms over real fields
15A15 Determinants, permanents, traces, other special matrix functions
26B10 Implicit function theorems, Jacobians, transformations with several variables
26C15 Real rational functions
62J10 Analysis of variance and covariance (ANOVA)
17A40 Ternary compositions
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References:

[1] Ueber eine fundamentale Begründung der Invariantentheorie. Crelle 62, p. 281.
[2] Clebsch, Theorie der binären Formen, §§ 79., 80., p. 300. · JFM 02.0058.02
[3] Voir Clebsch, Ueber symbolische Darstellung algebraischer Formen, Crelle Bd. 59, et Binäre Formen p. 28.
[4] Voir Clebsch, Binäre Formen p. 306.
[5] Voir la mémoire citée de Aronhold, le théorème V; Clebsch: Binäre Formen p. 306.
[6] Crelle’s Journal Bd. 59. Une démonstration élémentaire de ce théorème important est donnée par M. Zeuthen dans le ”Tidesskrift for Mathematik” Copenhague 1872.
[7] Voir par exemple Clebsch: Binäre Formen p. 91.
[8] Cfr. Clebsch: Binäre Formen p. 365. Il faut remarquer, que l’égalité des invariants absolus renferme que les mêmesinvariants s’annullent, mais point toujours que les mêmes covariants s’évanouissent identiquement. De là viennent les cas spéciales par la théorème comme l’a énoncé Clebsch.
[9] Clebsch: Ueber ein Fundamentalproblem der Invariantentheorie, Schriften der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1872.
[10] Voir Gundelfinger: Mathematische Annalen Bd. IV, p. 571.
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