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The meromorphisms of an elliptic function-field. (English) Zbl 0014.20003
In der Arbeit von H. Hasse über Meromorphismen elliptischer Funktionenkörper [Abh. Math. Semin. Hamb. Univ. 10, 325–348 (1934; Zbl 0011.19704, JFM 60.0911.01)]war offen geblieben, ob die Meromorphismen absolut algebraisch und wann sie vertauschbar sind. Verf. beweist den algebraischen Charakter und die paarweise Vertauschbarkeit aller Meromorphismen für den Fall \(\pi\ne \bar \pi\) und \(q = p^f = p\) (die Bedeutung von \(\pi, \bar \pi,q\) s. loc. cit.). Gilt für einen Meromorphismus \(\mu\) \(dx_\mu/y_\mu = c_\mu dx/y\), so folgt unter der angenommenen Voraussetzung \(q = p\) \((f = 1)\) aus \(c_\mu =0\) die Existenz von \(\nu\) mit \(\mu = \pi\nu\). Dies und die Ungleichung \(N(\mu+\nu) \le 2(N\mu + N \nu)\) (vgl. H. Hasse [Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. Kl. I, N. F. 1, 119–129 (1935; Zbl 0013.19701, JFM 61.1042.01)]), insbesondere die ,,Normenidentität”, wo auch die beiden neueren Beweise von Hasse und Behrbohm für die in Rede stehenden Sätze referiert sind) werden benutzt, um mit Hilfe einer Art von Euklidischem Algorithmus einen Meromorphismus \(\mu\) in die Form \(\mu = n_0 + n_1\pi + \ldots + n_{r-1}\pi^{r-1} + \pi^r\mu_r\), \(n_i\) ganz rational, und \(N\mu_r < p^r\) für hinreichend großes \(r\), zu bringen. Daraus folgt leicht eine Identität \((\pi^2 - 1)\mu = a_0 + \ldots + a_l\pi^l\), daraus die Vertauschbarkeit der Meromorphismen; für \(\mu = \pi\) eine absolut algebraische Gleichung für \(\pi\) und schließlich in \(\text{Norm}_{\Gamma(\pi)/\Gamma}((\pi^s - 1)\mu - a_0- \ldots - a_l\pi^l) = 0\) eine absolut algebraische Gleichung für \(\mu\). Es wird noch angedeutet, wie sich dieser Beweis auf \(q = p^f > p\) ausdehnen läßt.
MSC:
11R58 Arithmetic theory of algebraic function fields
14H05 Algebraic functions and function fields in algebraic geometry
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