Angeordnete Strukturen. Gruppen, Körper, projektive Ebenen. (German) Zbl 0558.51012

Prieß-Crampe, Sibylla

Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 98. Berlin etc.: Springer-Verlag. XI, 286 S. DM 178.00 (1983).

Etwa 40% des Buches befassen sich mit angeordneten projektiven Ebenen. Dieses der Autorin am Herzen liegende Thema bedingt auch die Auswahl der in den vorangehenden 4 Kapiteln dargestellten Ergebnisse über angeordnete Loops, Gruppen und Körper, über Bewertungstheorie und über die Hausdorffschen \(\eta_{\alpha}\)-Strukturen (\(\alpha\) eine Ordinalzahl). Teilweise Ordnungen bleiben in diesem Werk grundsätzlich unberücksichtigt, sowie auf geometrischer Seite die Spernerschen Ordnungsfunktionen. Auch hyperbolische und Hjelmslev-Ebenen werden nicht behandelt. - Da in diesem Buch (anders als in ”Ergebnisberichten” üblich) den Sätzen meist Beweise beigefügt sind, kann es durchaus als Lehrbuch verstanden werden. Andererseits findet man, durch die Zielsetzung der Verfasserin bedingt, keine enzyklopädische Vollständigkeit der einschlägigen Ergebnisse und Literaturstellen in den ersten vier Kapiteln.
Zum Inhalt des Hauptkapitels: In § 1 werden angeordnete affine (bzw. projektive) Ebenen mittels einer Zwischen-(Trenn-)Relation auf den Geraden, die gegen Parallel-(Zentral-)Projektionen invariant ist, definiert. Beziehungen zwischen affiner und projektiver Betrachtung, zum Axiom von PASCH und zu Anordnungen des Ternärkörpers (letztere auf Arbeiten der Autorin zurückgehend) werden aufgezeigt. Da über die Anordnung eine Topologie definiert werden kann, gibt die Verf. in § 2 eine Einführung in die topologischen projektiven Ebenen, welche einerseits in dem Satz von EINERT gipfelt, der besagt, daß die Topologie einer zusammenhängenden Ebene genau dann von einer Anordnung induziert wird, wenn die Ebene zweidimensional ist, und andererseits die topologischen Begriffe für die folgenden Paragraphen entwickelt. § 3 behandelt die archimedisch angeordneten Ternärkörper und projektiven Ebenen, eine abgerundete Theorie, die wesentlich durch Forschungen der Autorin geprägt ist. Zunächst Aussagen über ordnungsdichte Unter- Ternärkörper bzw. Teilebenen, insbesondere die Tatsache, daß sich jeder einigermaßen ”vernünftige” Schließungssatz von einer dichten Teilebene auf die ganze projektive Ebene überträgt; und als Korollar den bemerkenswerten Satz: Jede archimedisch angeordnete Translationsebene ist pappossch. Mit Hilfe einer Verallgemeinerung auf Ternärkörper der Charakterisierung des Körpers \({\mathbb{R}}\) durch dedekindsche Schnitte und der SALZMANNschen Charakterisierung der reellen projektiven Ebene (Beweis ist aufgeführt) kommt die Verfasserin zu ihrem abschließenden Satz: Die archimedisch angeordneten projektiven Ebenen sind genau die Unterebenen der zweidimensionalen projektiven Ebenen. Der schwierige Beweis ist hier auf 9 Seiten in (gegenüber dem Original) verbesserter Form dargestellt. Das überraschende Ergebnis von JOUSSEN, daß jede freie Ebene archimedisch anordnungsfähig ist, wird ohne Beweis angeführt. Das Analogon zum Begriff ”Stelle” bei bewerteten Körpern ist bei projektiven Ebenen der Begriff ”Homomorphismus”. Die wenigen Ergebnisse, die darüber bis jetzt vorliegen, sind in § 4 dargestellt. Sie stammen im wesentlichen von ANDRÉ, HUGHES, KUHN, RINK, ROW, SALZMANN. Schließlich wird in § 5 die LENZ-BARLOTTI-Klassifikation für angeordnete und für archimedisch angeordnete projektive Ebenen behandelt; insbesondere der Satz von BRUCK und KLEINFELD, daß ein angeordneter Alternativkörper bereits ein Schiefkörper ist, und der Satz der Autorin, daß es keine archimedisch angeordnete Ebene der Klasse \(I_ 3\) geben kann.

Reviewer: E.Glock

MSC:

51G05	Ordered geometries (ordered incidence structures, etc.)
06F15	Ordered groups
12J15	Ordered fields
17A40	Ternary compositions
51H10	Topological linear incidence structures

Keywords:

ordered projective plane; ordered loops, groups and fields; valuation theory