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Permutations, lattice permutations, and the hypergeometric series. (English) JFM 47.0060.03

Der Verf. untersucht die Anzahl der “Permutationen” \(P(m_{1,n}, m_{2,n}, \dots, m_{n-1, n}, m_{n,n})\) und der sog. “lattice permutations” \(LP(m_{1,n}, m_{2,n}, \dots, m_{n-1, n}, m_{n,n}),\) die er in seinem “Combinatory analysis” eingeführt hat. Hierbei sind \(m_1, m_2, \dots, m_n\) nichtnegativ ganz, \(m_{i,k} = m_i + m_{i+1}+ \cdots + m_k, i \leqq k\). Insbesondere gewinnt er die “erzeugenden Funktionen” \[ \begin{aligned} &\sum_{m_n=0}^\infty P (m_{1, n}, m_{2,n}, \dots, m_{n, n}) x_1^{m_{1,n}} x_2^{m_{2, n}}\dots x_n^{m_{n,n}},\\ &\sum_{m_n=0}^\infty LP (m_{1, n}, m_{2,n}, \dots, m_{n, n}) x_1^{m_{1,n}} x_2^{m_{2, n}}\dots x_n^{m_{n,n}}\end{aligned} \] als verallgemeinerte hypergeometrische Reihen vom Typus \[ F\left(\begin{matrix} a_1 a_2 \dots a_k\\ 1b_2\dot s b_k\end{matrix} x\right)=1 +\sum_{n=1}^\infty \frac { a_1(a_1+1)\ldots (a_1+n-1)\dots a_k(a_k+1)\dots(a_k+n-1) }{ 1\dot 2\dot s n\dot b_2\dot s(b_2+n-1) b_k\dot s(b_k+n-1) }x^n. \] (IV 6 B.)

MSC:

05A05 Permutations, words, matrices
33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.)
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