Krawtchouk, M. Sur une généralisation des polynômes d’Hermite. (French) JFM 55.0799.01 C. R. 189, 620-622 (1929). Aus der allgemeinen Theorie der orthogonalen Polynome folgen leicht verschiedene Eigenschaften der Polynome \(\varphi_n(x)\), definiert durch die Orthogonalitätsbedingung \[ \sum_{i=0}^{l-1} \binom{l-1}{i} p^i q^{l-1-i} \varphi_m(i) \varphi_n(i) = \varepsilon_{mn} \tag{1} \]\[ (m, n = 0, 1, 2, \dots; \;p > 0, \;q > 0, \;p + q = 1). \] Es gilt \[ \varphi_n(x) =\binom{l-1}{n}^{-\tfrac 12} (pq)^{-\tfrac n2} \sum_{i=0}^n (-1)^i \binom{l - x -1}{n - i}\binom{x}{i} p^{n-i} q^i, \] woraus für \(l\to\infty\), \(p(l - 1) = a =\) const die Polynome \[ \text{const }\frac{x!}{a^x} \varDelta^n \left[ \frac{a^{x-n}}{(x-n)!}\right] \tag{2} \] und für \(l\to\infty\), \(x = p(l - 1) + t\sqrt{2pq (l-1)}\) die Hermiteschen Polynome \[ \text{const }e^{t^2} \frac{d^n}{dt^n} (e^{-t^2}) \tag{3} \] hervorgehen. Es sei bemerkt, daß die Polynome (2) vom Standpunkt der zu (1) analogen Orthogonalität eingehend von Charlier, Jordan und insbesondere H. Pollaczek-Geiringer [Z. Angew. Math. 8, 292–309 (1928; JFM 54.0559.02), besonders S. 301 u. folg.] untersucht worden sind. Sie spielen in der Statistik eine erhebliche Rolle. (IV 3 D.) Reviewer: Szegö, Prof. G. (Saint Louis) Cited in 3 ReviewsCited in 27 Documents MSC: 33C45 Orthogonal polynomials and functions of hypergeometric type (Jacobi, Laguerre, Hermite, Askey scheme, etc.) JFM Section:Zweiter Halbband. Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 6. Besondere Funktionen. A. Elementare Funktionen. Die \(\varGamma\)-Funktion und verwandte Funktionen. Citations:JFM 54.0559.02 PDFBibTeX XMLCite \textit{M. Krawtchouk}, C. R. Acad. Sci., Paris 189, 620--622 (1929; JFM 55.0799.01) Full Text: Gallica