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Über einige Hilfssätze der Potentialtheorie. I. (German) JFM 51.0357.02

“In der Potentialtheorie und ihren Anwendungen spielen die bekannten Sätze über das Newtonsche und logarithmische Potential einfacher und doppelter Belegungen eine hervorragende Rolle.”
“Ungleichheiten dieser Art sind in die Potentialtheorie von Herrn Hölder eingeführt worden und werden als Höldersche Bedingungen bezeichnet.”
“Von ganz anderem Charakter sind die Sätze, von denen in dem folgenden die Rede sein soll. Während vorhin das die Belegung tragende geometrische Gebilde ein für allemal gegeben war und das Potential als Ortsfunktion des Aufpunktes \((x, y, z)\) studiert wurde, wird nunmehr der Bereich selbst sowie die Dichte der Belegung variiert. Der Einfluß der Veränderlichkeit des Bereiches ist es, auf den sich jetzt das Interesse konzentriert. Das Potential wird als Funktion des Bereiches, als ein “Funktional” aufgefaßt. Eine solche Auffassung ist natürlich nicht neu, doch sind bisher in dieser Richtung, soweit ich sehe, lediglich naheliegende Sätze über die Abhängigkeit des Potentials \(V\) selbst von \(T\) abgeleitet worden. Für manche Fragen der Hydrodynamik, der Dynamik vollkommen inkohärenter Medien usw. erscheinen aber gerade Sätze von großer Wichtigkeit, bei denen über das Verhalten partieller Ableitungen von \(V\) im Innern und auf dem Rande von \(T\) bei geeigneten Änderungen dieses Gebietes präzise Aussagen gemacht werden. Sätze dieser Art bilden den Inhalt des vorliegenden Aufsatzes.”

MSC:

31-XX Potential theory
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References:

[1] Im folgenden kürzer alsH-Bedingungen, auchH-Bedingungen mit dem Exponenten ?.
[2] S. beispielsweise A. Korn, Sur les équations de l’élasticité, Annales de l’École Normale (3),24, (1907), S. 9-75, insbes. S.12-42. Genaue Literaturangaben finden sich in meinem Encyklopädieartikel II C 3, S. 199-210. Man vergleiche hierzu die Bemerkung am Anfang des § 5.
[3] Vgl. meine Abhandlung, Über einige Existenzprobleme der Hydrodynamik homogener, unzusammendrückbarer, reibungsloser Flüssigkeiten und die Helmholtzschen Wirbelsätze, die in dem gleichen Heft dieser Zeitschrift zur Veröffentlichung gelangt.
[4] Offenbar decken sich ? undv mit den kartesischen Koordinatenx?,y? oderx?,z? bzw.y?,z? (vgl. oben).
[5] Vgl. die Fußnote Offenbar decken sich ? undv mit den kartesischen Koordinatenx?,y? oderx?,z? bzw.y?,z? (vgl. oben).
[6] Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung vonV ? genügen derH-Bedingung mit dem Exponenten ?. Man vergleiche die Ausführungen der beiden letzten Paragraphen dieses Aufsatzes.
[7] Vgl. A. Korn, Über Minimalflächen, deren Randkurven wenig von ebenen Kurven abweichen, Abhandlungen der Königl. Preuß. Akademie der Wissenschaften vom Jahre 1909. Anhang. S. 1-37 insbes. S. 7-14. · JFM 40.0705.02
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