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On the lattice of projections of a Baer *-ring. (English) Zbl 0099.26102

Verf. hat in einer früheren Arbeit [J. Sci. Hiroshima Univ., Ser. A 19, 211–237 (1955; Zbl 0068.02502)] eine abstrakte Dimensionstheorie für vollständige Verbände entwickelt, welche sowohl die Dimensionstheorie kontinuierlicher Geometrien wie \(AW^*\)-Algebren umfaßt. Hier nun werden für diese früheren Untersuchungen zunächst etwas schwächere Voraussetzungen als hinreichend nachgewiesen, so daß dann auch die Dimensionstheorie einer großen Klasse von Baer *-Ringen mit erfaßt wird; dadurch wird es dann möglich, für solche Ringe einige Reduktionssätze herzuleiten.
Sei \(L\) ein vollständiger Verband mit einer binären Relation \(\perp\), die den früher vom Verf. (loc. cit.) angegebenen Bedingungen genügt. Ferner sei
\((\alpha)\) \(\sim\) eine Äquivalenzrelation auf \(L\) mit
\((\beta)\) \(a\sim 0\) impliziert \(a = 0\);
\((\bar\gamma)\) \(a\sim\oplus b_\alpha\) impliziert \(a =\oplus a_\alpha\) mit \(a_\alpha\sim b_\alpha\);
\((\delta_1)\) \(a_1\perp a_2\), \(b_1\perp b_2\), \(a_i \sim b_i\) \((i = 1, 2)\) impliziert \(a_1\oplus a_2\sim b_1\oplus b_2\);
\((\delta_2)\) \(\perp\{a_\alpha\}\), \(\perp\{b_\alpha\}\), \(a_\alpha\sim b_\alpha\) für alle \(\alpha\), \(\oplus a_\alpha\perp \oplus b_\alpha\) impliziert \(\oplus a_\alpha\sim \oplus b_\alpha\);
\((\varepsilon)\) \(e(a)\cap e(b)\neq 0\) impliziert die Existenz von \(a_1, b_1\) mit \(a_1\sim b_1\), \(0\neq a_1\leq a\), \(0\neq b_1\leq b\);
schließlich \((\eta)\) werde \(\sim\) noch von der Perspektivität impliziert (alle diese Forderungen sind für kontinuierliche Geometrien wie für \(AW^*\)-Algebren erfüllt). Dann ist \(\sim\) voll-additiv:
\((\delta)\) \(\perp\{a_\alpha\}\), \(\perp\{b_\alpha\}\), \(a_\alpha\sim b_\alpha\) für alle \( \alpha\) impliziert \(\oplus a_\alpha\sim \oplus b_\alpha\)
– mithin lassen sich, wie früher vom Verf. gezeigt (loc. cit.), Dimensionsfunktionen konstruieren, sofern noch
\((\zeta)\) \(a_1\oplus a_2\sim b_1\oplus b_2\), \(a_1\sim a_2\), \(b_1\sim b_2\) impliziert \(a_1\sim b_1\).
Zum Beweis bedenkt man, daß bereits die vorhandenen Additivitätsforderungen die Zerlegbarkeit von \(L\) sichern; wesentlich ist dann die Untersuchung des Typs I\(_{(1)}\), für die z. T. Methoden von I. Kaplansky [Ann. Math. (2) 53, 235–249 (1951; Zbl 0042.12402); Rings of operators. New York-Amsterdam: W. A. Benjamin (1968; Zbl 0174.18503)] verwendet werden können.
Sei \(R\) ein Ring mit involutorischem Antiautomorphismus \(x\to x^*\); \(x\) mit \( x^* = x\) heißt selbstadjungiert, und ein selbstadjungiertes Idempotent heißt Projektion; \(R\) heißt Baer *-Ring, wenn der Rechtsannullator jeder Teilmenge \(S\) von \(R\) ein von einer Projektion \(e\) erzeugtes Hauptrechtsideal ist; man setzt \(RP(S) = 1-e\), \(RP(x) = RP(\{x\})\) – entsprechendes gilt dann mit “Links” statt “Rechts”, so daß man auch \(LP(x)\) definieren kann. Für \(e\leq f\) falls \(e = ef\) bilden die Projektionen eines Baer *-Ringes einen vollständigen Verband \(L\) (Kaplansky [Zbl 0174.18503, loc. cit.]), und definiert man \(e\perp f\) durch \(e f = 0\), so sind des Verf. frühere Forderungen an \(\perp\) erfüllt.
Für Projektionen \(e,f\) eines Baer *-Ringes \(R\) definiert man (Kaplansky [Zbl 0174.18503, loc. cit.]) \(e\overset{a}\sim f\), wenn \(xy = e\), \(yx = f\) mit \(x, y\) aus \(R\), und \(e \overset{\ast}\sim f\), wenn \(xx^* = e\), \(x^*x = f\) mit \(x\) aus \(R\); diese Äquivalenzrelationen erfüllen \((\beta)\) und \((\delta_1)\), \(\overset{\ast}\sim\) erfüllt \((\bar\gamma)\) und \((\delta_2)\) nach Kaplansky [Zbl 0174.18503, loc. cit.], und für \(\overset{a}\sim\) läßt sich \((\bar\gamma)\) beweisen. Stets sind die relativen Zentren bezüglich \(\overset{a}\sim\), \(\overset{\ast}\sim\) gleich dem Zentrum von \(L\); hat \(\overset{a}\sim\) die Eigenschaft \((\eta)\), so auch \((\delta_2)\); hat \(\overset{a}\sim\) oder \(\overset{\ast}\sim\) die Eigenschaft \((\eta)\), so auch \((\varepsilon)\). Gilt (a) \(e- e\cap f\overset{a}\sim e\cup f -f\) für alle \(e, f\) aus \(L\) (resp. (a*)), so folgen \((\eta)\) und \((\zeta)\) für \(\overset{a}\sim\) (resp. für \(\overset{\ast}\sim\)) – unter diesen Voraussetzungen ist es also möglich, Dimensionsfunktionen einzuführen.
Ist 1 in \(L\) endlich für \(\overset{a}\sim\) (resp. \(\overset{\ast}\sim\)), so heiße \(L\) und \(R\) \(a\)-endlich (resp. *-endlich); ist \(R\) \(a\)-endlich mit \((a)\), so \(L\) eine kontinuierliche Geometrie und \(\overset{a}\sim\) die Perspektivität; ist \(R\) *-endlich mit \((a^*)\), so auch \(a\)-endlich und \(\overset{a}\sim\) noch gleich \(\overset{\ast}\sim\). Die vollständig *-regulären Ringe \(R\) aus Kaplansky [Zbl 0042.12402, loc. cit.] sind gerade die regulären Baer *-Ringe; sie sind \(a\)-endlich und erfüllen \((\bar a)\) \(RP(x)\overset{a}\sim LP(x)\) für jedes \(x\) aus \(R\), woraus \((a)\) folgt. Die Baer *-Ringe mit EP, SR aus Kaplansky [Zbl 0174.18503, loc. cit.] erfüllen \((a^*)\), \((\bar a^*)\), woraus das Zusammenfallen von \(\overset{a}\sim\), \(\overset{\ast}\sim\) folgt. Sei nun \(R\) ein Baer *-Ring; ein Ideal \(I\) von \(R\) heißt restringiert, wenn es von seinen Projektionen erzeugt wird, die dann in \(L\) ein Ideal \(J\) bilden. Ist \(R\) \(a\)-endlich mit \((a)\), so bilden die Projektionen von \(A/I\) einen zu \(L/J\) isomorphen Verband, \(J\) neutral in \(L\); ist \(I\) überdies maximal, so ist \(A/I\) ein \(a\)-endlicher Baer *-Ring mit \((\bar a)\) und irreduzibel, der Projektionsverband \(L/J\) eine einfache kontinuierliche Geometrie, und auch \((a^*)\) überträgt sich von \(A\) nach \(A/I\). Wegen der \(a\)-Endlichkeit von \(R\) liefert \((a)\) eine eindeutig bestimmte normalisierte Dimensionsfunktion \(d_0\) mit \(d_0(1) = 1\) (vgl. S. Maeda, loc. cit.); für \(e\) aus \(L\) ist \(d_0(e)\) eine stetige Funktion auf dem Raum \(\Omega\) der maximalen Ideale des Zentrums \(Z\) von \(L\); mit \((\bar a)\) erhält man durch \(I \to J\) eine Bijektion der restringierten Ideale von \(R\) auf die neutralen Ideale von \(L\), durch \(I \to J\cap Z\) also eine Bijektion der maximalen restringierten Ideale von \(R\) auf \(\Omega\), so daß (vgl. [F. Maeda, Kontinuierliche Geometrie. Berlin etc.: Springer Verlag (1958; Zbl 0081.02601), p. 123, 124]) die Dimension von \(e/I\) in \(L/J\) gleich dem Wert von \(d_0(e)\) an der Stelle \(I\) ist [Spezialfälle dieser Sätze für \(AE^*\)-Algebren bei S. K. Berberian [Trans. Am. Math. Soc. 83, 493–509 (1956; Zbl 0074.09903), Th. 5.3, 5.5]. Ist im besonderen \(R\) ein *-endlicher Baer *-Ring mit EP, SR (resp. ein vollständiger *-regulärer Ring), \((I_\lambda)\) die Familie aller maximalen restringierten Ideale (resp. aller maximalen Ideale) von \(R\), so ist \(R\) *-isomorph einem subdirekten Produkt der \(R/I_\lambda\) vermöge \(x\to (x/I_\lambda)\) und jedes \(R/I_\lambda\) ein irreduzibler *-endlicher Baer *-Ring mit \((\bar a^*)\) (resp. ein einfacher vollständig *-regulärer Ring).
Reviewer: W. Felscher

MSC:

16E50 von Neumann regular rings and generalizations (associative algebraic aspects)
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