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On indefinite binary quadratic forms. (Sur les formes quadratiques binaires indéfinies.) (French) JFM 12.0143.02

Fortsetzung der Arbeit [Math. Ann. 15, 381–406 (1879; JFM 11.0147.01)]. Einer jeden Classe von binären quadratischen Formen von positiver Determinante entsprach eine bestimmte Reihe ganzer positiver Zahlen \[ \ldots \alpha_{-3} \; \alpha_{-2} \; \alpha_{-1}\; \alpha_0 \; \alpha_1 \; \alpha_2 \; \ldots \] und umgekehrt.
Das Verhältnis zwischen \(2\sqrt{D}\) und dem Minimum dieser Formen ist gleich dem Minimum der Summe der beiden Kettenbrüche \[ \alpha_k+_{ \tfrac{1\qquad}{\alpha_{k+1} + \frac{1\qquad}{\alpha _{k+1} +_{\ddots}}}} +_{\tfrac{1\qquad}{\alpha_{k-1} + \frac{1\qquad}{\alpha_{k-2}+_{\ddots}}}} = \frac{2}{S_k} \quad (k\text{ variabel}). \] Es werden nun mehrere verschiedene Specialfälle untersucht. Der wichtigste darunter ist durch die Ungleichung bestimmt \[ S_k \overset {=} > l> \frac 23 \text{ für jedes } k. \] Für diesen Fall wird die Periode der Reihe der \(\alpha\) bestimmt, sowie das Maximum von \(\frac{2}{S_k}\).
Für die Perioden, die verschiedenen Werthen von \(k\) zugehören, wird eine Tabelle aufgestellt, die sich schon im ersten Band von Bernoulli’s “Recueil pour les astronomes” findet.
Eine Anwendung wird gemacht auf die Lösung der Gleichung \[ x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz \] in ganzen und positiven Zahlen.

MSC:

11E16 General binary quadratic forms
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
11J06 Markov and Lagrange spectra and generalizations
11E12 Quadratic forms over global rings and fields
11H50 Minima of forms
11A55 Continued fractions
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations

Citations:

JFM 11.0147.01
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Full Text: DOI EuDML

References:

[1] Mathematische Annalen, Band XV., p. 381?406.
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