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The Diophantine equation \(y^2-k=x^3\). (English) JFM 44.0230.03

Der Verf. betrachtet die Auflösungen der Fermatschen Gleichung \(y^2-k=x^3\) in ganzen Zahlen. Auf elementarem Wege bestimmt er zunächst Werte von \(k\), für die keine Lösung möglich ist. Z. B. ist die Gleichung für alle \(k=A^3-B^2\), wo \(B\not\equiv 0\pmod 3\) und \(A\) und \(B\) teilerfremd sind, unlösbar. Weiter kann man Zahlen des quadratischen Zahlkörpers zu Hülfe nehmen) indem
\[ x^3=(y+\sqrt{k})(y-\sqrt{k}) \]
gesetzt wird. Ist schließlich \(k=k_1f^2\), wo \(k_1\) quadratfrei ist, so ergibt die binäre kubische Form \((f,b,c,d)\) mit den Hesseschen Determinanten \((F,G,H)\),
\[ (bF-fG)^2-Hf^2=f^3, \]
und aus der Theorie der kubischen Form kann wieder auf die Auflösbarkeit geschlossen werden.

MSC:

11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
11G05 Elliptic curves over global fields
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