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On some diophantine equations \(y^2 = x^3 + k\) with no rational solutions. (English) Zbl 0033.16008

Es sei \(k\) eine quadratfreie natürliche Zahl \(\equiv 6\) oder \(\equiv 15\pmod{36}\) mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Klassenzahl im Körper \(K(\sqrt k)\) ist nicht durch 3 teilbar;
2. Wenn \(X_1\) und \(Y_1\) die Fundamentallösung der Pellschen Gleichung \(X^2 - kY^2 = 1\) bedeutet, so ist \(Y_1\not\equiv 0\) und \(\not\equiv \pm 1\pmod 9\);
3. Die Klassenzahl im Körper \(K(\sqrt{3k})\) ist nicht durch 3 teilbar;
4. Es seien \(p\) und \(q\) natürliche Zahlen, so daß \(p^2 + \tfrac13 kq^2 = 3^{2h}\); dann ist für \(h\equiv 1\pmod 3\) \(q\not\equiv \pm 1\pmod 9\) und für \(h\equiv -1\pmod 3\) \(q\not\equiv \pm 2(k/3)^2\pmod 9\).
Mittels einer descente infinie beweist dann Verf., daß die diophantische Gleichung \(y^2 = x^3 + k\) keine Lösungen in rationalen Zahlen \(y\) und \(x\) besitzt. Beispiele geben \(k = 6, 42, 51\).

MSC:

11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
11G05 Elliptic curves over global fields
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