Davenport, Harold On the cubic fields with negative discriminants. (Sur les corps cubiques à discriminants négatifs.) (French) Zbl 0033.15702 C. R. Acad. Sci., Paris 228, 883-885 (1949). Für einen algebraischen Zahlkörper \(K\) von endlichem Grade besagt die Existenz des Euklidischen Algorithmus (= E.A.), daß es zu jedem \(\lambda\) \((\in K)\) ein ganzes \(\xi\) \((\in K)\) mit \(N(\xi - \lambda ) <1\) gibt \((N = \) Norm in \(K\)). Mit einer Ausdehnung der Methode des Verf., mit der er in einer (im Druck liegenden) Arbeit [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 53, 65–82 (1951; Zbl 0045.01402)] alle quadratischen \(K\) mit E.A. angibt, kann er beweisen, daß es nur endlich viele nicht totalreelle kubische \(K\) mit E.A. gibt. Er betrachtet die Form \(\xi = \alpha u + \beta b + \gamma w\) und ihre Konjugierten \(\xi', \xi''\) (wobei \(\alpha,\beta,\gamma\) eine Basis der ganzen Zahlen des reell angenommenen \(K\) bilden) sowie die (durch \(i\) dividierten) adjungierten Formen \(\Xi, \Xi', \Xi''\), und die quadratische Form \(R^2\Xi^2 + (4/R) \vert\Xi'\vert^2\) \((R > 0)\), die die (von \(R\) unabhängige) Determinante \(-4/d\) hat, wobei \(-d\) die Diskriminante von \(K\) bezeichnet. Mit einem Reduktionsverfahren schließt er auf ein \(c\) \((>0)\) und \(\lambda\) \((\in K)\) mit \(\vert N(\xi - \lambda)\vert > c\sqrt{-d}\), woraus folgt, daß für \(-d> c^{-2}\) kein E.A. existiert. Ausführlicher Beweis erfolgt in [Acta Math. 84, 159–179 (1950; Zbl 0037.30803)]. Reviewer: László Rédei (Szeged) Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 2 Reviews MSC: 11R16 Cubic and quartic extensions 11R04 Algebraic numbers; rings of algebraic integers 11R29 Class numbers, class groups, discriminants Keywords:cubic fields; negative discriminants; Euclidean algorithm Citations:Zbl 0045.01402; Zbl 0037.30803 PDFBibTeX XMLCite \textit{H. Davenport}, C. R. Acad. Sci., Paris 228, 883--885 (1949; Zbl 0033.15702)