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Note on functions proper to represent a substitution of a prime number of letters. (Note on functions proper to represent a substitution of a prime number of letters.) (English) JFM 23.0208.01

Mess. (2) XXI. 44-47 (1891).
Damit eine ganze rationale algebraische Function \(f(z)\) eine Substitution von \(p\) Buchstaben darstelle, ist es nötig und ausreichend, dass die \(p\) Werte \(f(0),\;f(1),\;\dots,\;f(p-1)\) den Zahlen \(0,1,2,\dots,p-1\) nach dem Modul \(p\) in einer beliebigen Folge congruent sind. Von dieser Bedingung ausgehend, hat Hr. Hermite bewiessen (vgl. Serret, Cours d’algèbre supérieure, \(\S\)476), dass, wenn \(f(z)\) diese Eigenschaft für einen Primmodul \(p\) besitzt, dann die einzelnen Coefficienten von \(z^{p-1}\) in den Entwickelungen von \(f(z),\;\{f(z)\}^2,\;\dots,\;\{f(z)\}^{p-2}\), nachdem diese vermöge des Fermat’schen Satzes auf Functionen \((p-1)^{\text{ten}}\) Grades gebracht sind, der Null congruent werden. Er zeigt auch die Richtigkeit der Umkehrung, dass nämlich \(f(z)\) eine Substitution darstellt falls jene \(p-2\) Coefficienten Null sind. Der Verf. legt dar, dass diese \(p-2\) Bedingungen zwar genügend, aber nicht alle notwendig sind, insofern sie nicht alle unabhängig von einander sind, und belegt dies am Schlusse seines Artikels durch Erörterung der Fälle 5 und 7.

MSC:

11T06 Polynomials over finite fields
11A07 Congruences; primitive roots; residue systems
11C08 Polynomials in number theory