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Mathématiques et CAO. 1: Méthodes de base. (Mathematics and CAD. 1: Basic methods). (Par Patrick Chenin, Michel Cosnard, Yvon Gardan, François Robert, Yves Robert, Patrick Witomski. 2ième éd). (French) Zbl 0654.65001

Paris-Londres-Lausanne: Hermès. 164 p.; FF 195.00 (1986).
Le présent traité se rapporte à des systèmes abstraits qui s’appuient sur des notions mathématiques. Ces notions ont constitué le thème de diverses études, qui sont mentionnées dans la bibliographie de l’ouvrage. Le livre analysé est supposé être le premier volume d’un ouvrage intitulé: “Mathématiques et CAO” (Conception assistée par ordinateur) et est destiné à introduire les fondements mathématiques. Les aut., qui sont au nombre de six, examinent d’abord des problèmes qui se posent pour les techniques graphiques interactives. Ils considèrent des calculs bidimensionnels (calculs d’intesections, d’aires) et les transformations géométrique en 2D et 3D. Celles-ci sont suivies des projections parallèles qui comprennet les projections qbliques et les axonométries, ainsi que des perspectives.
La représentation graphique et le tracè de courbes et de surfaces rentrent dans la domaine de la \hbox{C.A.O.} L’onterpolation envisagée est polynomiale proprement dite (lagrange, Hermite) ou polynomiale par morceaux; dans ce cas les interpolants sont entre autres les fonctions splines, par exemple les ”splines cubiques”. D’autre part la représentation des surfaces se distinguede celle des courbes par l’introduction d’un produit tensoriel. Il est plausible que les qualités d’un système abstrait dépendent du choix des modèles mathématiques. Ainsi, suivant que le lissage des courbes et des surfaces est effectué au moyen de fonctions de Bëzier ou de fonctions \(B\)-splines, l’utilisateur final constatera des différences. Les aut. abordent en outre l’approximation des fonctions dans \(\mathbf R\) et le triangulation automatique à propos des surfaces. La résolution des systèmes lineéaires se fait au moyen de méthodes numériques, directes: méthode des gauss ou procedes dérivés, orthonormalisation (par exemple Givens) ou itératives (Gauss-Seidel…). Lorsque les équations sont non linéaires la méthode de base est celle de Newton. A défaut de connaître la Jacobienne, les aut. utilisent entre autres la méthode itérative de Jacobi. Ce procédé, tout comme la méthode de Givens, se prête bien au calcul parallèle. L’optimisation dans \(\mathbf R^n\) un lien avec le problème considéré. Par ailleurs les équations polynomiales et le calcul des valeurs propres d’une matrice carrée sont examinés.
Le chapitre final se rapporte à la méthode des éléments finis, dont la mise en œvre requiert deux phases. La première phase s’appuie sur l’analyse fonctionelle; la seconde est du ressort de diverses théories mathématiques.
Les aut. mettent sous forme variationelle les probémes aux limit usuels: Dirichlet, Neumann. Suite à un procédé classique ils proposent la méthode des éléments finis conformes. D’aute part différentes formes de maillage sont considérées. Dans ce livre les aut. emploient un lagage de cours, direct, verbal, par opposition aux textes dogmatiques et stylisés. Quelques exemples et de nombreux graphiques rendent la lecture du volume 1 plus agréable.

MSC:

65-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to numerical analysis
65D15 Algorithms for approximation of functions
41A15 Spline approximation
51N05 Descriptive geometry
65S05 Graphical methods in numerical analysis
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces
65Fxx Numerical linear algebra
65Hxx Nonlinear algebraic or transcendental equations
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
74S05 Finite element methods applied to problems in solid mechanics
68U99 Computing methodologies and applications