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Geometry - foundations for applications. (Geometrie. Grundlagen für Anwendungen.) (German) Zbl 0823.51001

Leipzig: Fachbuchverlag. 366 p. (1995).
Dieses inhaltsreiche, mit 181 (nicht, wie im Titelblatt angegeben, 137!) sehr schönen und instruktiven, teils mehrteiligen Figuren illustrierte Lehrbuch gibt eine breit angelegte Einführung in die Geometrie des (bei Bedarf affin, projektiv, auf höhere Dimension oder komplex erweiterten) euklidischen “Anschauungs”-Raumes. Methodisch wird recht konsequent der Weg der (vorwiegend analytischen) “konstruktiven Geometrie” eingeschlagen, d.h. eine zu lösende Aufgabe (z.B. Ermittlung des Schnittkreises zweier Kugeln \(K_ 1\), \(K_ 2\)) wird zunächst in endlich viele geeignete Teilaufgaben (hier: Ermittlung der Potenzebene \(\pi\) von \(K_ 1\), \(K_ 2\); Schnitt von \(\pi\) mit \(K_ 1\)) zerlegt, die ihrerseits weiter in endlich viele Grundaufgaben (elementare Lage-, Schnitt- und Maßaufgaben zwischen Punkten, Geraden, Ebenen, Kugeln, …) aufgeschlüsselt werden; diese werden dann mit meist analytisch- numerischen (gelegentlich synthetisch-graphischen) Methoden entschieden (Anzahl der Lösungen) und gelöst; der jeweilige Lösungsweg (mit Konstruktionsbeschreibung) wird häufig in Form eines Algorithmus in symbolischer Notation, geeignet auch als Grundlage zur Erstellung eines Computerprogramms, formuliert.
Die konstruktiv-geometrische Denk- und Arbeitsweise in diesem Sinne wird in den Kapiteln 1-7 systematisch in folgenden Bereichen präsentiert: 1. Überblicksartige Einführung in den Aufbau der euklidischen Geometrie der Ebene und des Raumes (axiomatische Grundlagen, Prinzip der konstruktiven Geometrie, Elementargeometrie, Übertragungsprinzipien, Konstruktionen und Konstruktionsbeschreibungen, Konstruktionen mit Zirkel und Lineal in der Ebene); 2. Analytische Geometrie (“Grundaufgaben”, d.h. Lage- und Maßaufgaben für Punkte, Geraden, Ebenen sowie analytische Beschreibung von Kurven und Flächen); 3. Geometrische Abbildungen und Transformationen (insbesondere: affine Abbildungen, perspektive Affinitäten; Bewegungen, Ähnlichkeitsabbildungen); 4. Projektive Geometrie (Grundbegriffe und Grundoperationen, projektive Abbildungen); 5. Darstellende Geometrie (Abbildungsverfahren, insbesondere: Axonometrie, zugeordnete Normalrisse, kotierte Projektion. Zentralperspektive, stereographische Projektion; “Visualisierung” mit kurzem Abriß über Sichtbarkeit, Beleuchtung, Schattierung, Schattenkonstruktionen); 6. Differentialgeometrie (metrische und Krümmungseigenschaften von Kurven, Flächen, Flächenkurven; Berührungen; Hüllkurven, Hüllflächen; Flächenabbildungen); 7. Algebraische Kurven, Flächen und Liniengeometrie, darunter in 7.3 auch Schraubtangentenkomplex und Schraubnormalenkomplex = Geradengewinde, sowie Übertragungsprinzip mittels der KLEIN-Hyperquadrik.
Die folgenden Kapitel 8-11 behandeln in Grundzügen wichtige Klassen geometrischer Objekte; 8. Polygone, Polyeder (einschließlich des Schnittes zwischen Prismen und/oder Pyramiden); 9. Kreise, Kugeln (einschließlich Inversion und Polarität); 10. Kegelschnitte/ 11. Quadriken (jeweils einschließlich: Hauptachsentransformation, Normalformen, Schnittoperationen, projektive Eigenschaften).
Das Schlußkapitel 12 “Beispiele und Aufgaben” (mit Lösungen) zu den Themenkreisen Grundobjekte, Polygone und Polyeder / Abbildungen und Projektionen / Kreise und Kugeln / Kegelschnitte und Quadriken / Spezielle ebene Kurven / Spezielle Flächen demonstriert in knapper, aber gelungener Weise die konstruktiv-geometrische Arbeitsweise anhand konkreter geometrischer Fragestellungen.
Von Vorteil ist, daß die Kapitel 1-11 weitgehend voneinander unabhängig lesbar sind. Als nachteilig empfindet Ref. folgendes: Literaturhinweise finden sich meist nur pauschal am Anfang der einzelnen Kapitel; andererseits werden zwei auf S. 336 genannte Bücher (Bachmann, Jeger) nicht im Literaturverzeichnis aufgeführt; das Sachwortverzeichnis enthält zum Teil falsche oder unvollständige Seitenangaben (richtig wäre z.B. Rytzsche Achsenkonstruktion 278; Schnittkurve 216, 217; Tangenten-Sekanten-Satz 256; Torse 56, 193, 194, 198, 352) bzw. wichtige Begriffe fehlen (einzufügen wären etwa: Leitstreckenzug 248, Momentanpol 275, Ellipsenzirkel 275, Ellipsenbewegung 275).
Unmittelbare Anwendungen der Geometrie auf Probleme der Technik and Naturwissenschaften finden sich in diesem Buch, dessen zweiter Verf. an der TU Dresden lehrt, übrigens nur recht spärlich. So wurden, wohl zur Stoffbegrenzung, die Gebiete rechnergestützter Kurven- and Flächenentwurf (CAGD) und die “Computational Geometry” vollkommen ausgeklammert; durch einzelne, ausgewählte Beispiele vertreten sind die Problemfelder der klassischen kinematischen Geometrie (Ellipsenzirkel, Ellipsenbewegung in 10.1; kinematische Erzeugung einer Parabel als Geradenhüllbahn in 10.3; Schubkurbelgetriebe und angenäherte Geradführung mittels eines Schleifkurbelgetriebes in 12.5) und der Ingenieurgeometrie (VIVIANI-Kurve in 7.2; Schnitte Quadrik/Ebene und Quadrik/Quadrik, insbesondere Schnittkurve zweier Drehzylinder, in 11.5).
Das Buch ist wohl in erster Linie als einführendes, etwa neben einer geeigneten Vorlesung zu benutzendes, Lehrbuch über anwendungsorientierte Geometrie für Studenten der Mathematik (Diplom oder Lehramt), der Informatik oder ingenieurwissenschaftlicher Fachrichtungen geeignet und kann hierfür bestens empfohlen werden. Die Autoren empfehlen es überdies als Nachschlagewerk für Ingenieure konstruierender Richtungen und Entwickler geometrieorientierter Software. Wer allerdings ein regelrechtes “Handbuch” für Geometrie-Anwender erwartet, wird sich doch des öfteren auf halbem Weg alleingelassen fühlen, wie etwa beim Berührkreisproblem nach APOLLONIUS, von dem in 12.3 nur Spezialfälle behandelt werden, bei dem extrem kurz gefaßten Abschnitt 6.5 über Flächenabbildungen (mit der stereographischen Projektion aus 5.2 als einzigem konkreten Beispiel und ohne einen Hinweis auf geeignete weiterführende Literatur wie z.B. J. Hoschek, ‘Mathematische Grundlagen der Kartographie’, 2. Aufl. Zürich (1984; Zbl 0536.53002)) oder auch beim diffizilen, jedoch anwendungsrelevanten Begriff der Torsen (3 verschiedene Zugänge auf S. 56, 193-194, 198 – ohne Querverweise – lassen den Leser im unklaren über die eigentliche Definition und auch den lokalen Charakter des Torsenbegriffs; an konkreten Beispielen findet man auf S. 352-353 die Tangentenflächen von Raumkurven und speziell die Schraubtorsen, jedoch wird z.B. auf keines der Anwenderprobleme “Verebnung einer Torse”, “Verbindungstorse zweier Raumkurven” und “Böschungstorse durch eine vorgegebene Raumkurve” eingegangen).
Das gut sortierte, aktuelle Literaturverzeichnis sollte meines Erachtens auch noch erweitert werden um W. Wunderlich, ‘Ebene Kinematik’, Mannheim (1970; Zbl 0225.70002) und H. Brauner, ‘Differentialgeometrie’, Braunschweig/Wiesbaden (1981; Zbl 0466.53001).
Druckfehler-Hinweis: Auf S. 215, vorletzte Zeile ist “Teilpolygone” durch “Teilpolynome”, im Sachwortverzeichnis auf S. 364 “Parabolid” durch “Paraboloid” zu ersetzen.
Reviewer: R.Koch (München)

MSC:

51-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to geometry
51M04 Elementary problems in Euclidean geometries
51N05 Descriptive geometry
51-03 History of geometry
51N20 Euclidean analytic geometry
51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
53A17 Differential geometric aspects in kinematics
53A04 Curves in Euclidean and related spaces
53A05 Surfaces in Euclidean and related spaces

Biographic References:

Geise, Gerhard; Bereis, Rudolf
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