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Simultaneous diophantine approximation to series. (English) Zbl 0085.03601

Es sei \(\mathfrak K\) die Menge aller formalen Laurentreihen \(x = \alpha_d z^d + \alpha_{d-1}z^{d-1}+ \ldots\) mit Koeffizienten aus einem Körper \(\mathfrak k\). Es werde ferner \(\mathfrak T = \mathfrak k [z]\) und \(\mathfrak R = \mathfrak k(z)\) gesetzt. In \(\mathfrak K\) wird üblicherweise durch \(\vert 0\vert = 0\) und \(\vert x\vert = \kappa^d\) \((\kappa > 1\), reell), wenn \(\alpha_d \ne 0\), eine nichtarchimedische Bewertung \(\vert \cdot\vert\) definiert. Wenn \(n > 1\), \(t_1,\ldots, t_n\in\mathfrak K\)l aber nicht alle \(\in\mathfrak R\), wird \(c(n)\) als das Supremum aller \(c\) definiert, für welche die simultanen Ungleichungen
\[ \vert b_0 (b_0 t_i - b_i)^n\vert \le \kappa^{-c}\quad (i = 1,\ldots, n) \]
für alle wie oben gewählten \(t_1,\ldots, t_n\) unendlich viele Lösungen in \(b_0, b_1,\ldots, b_n\) besitzen mit \(b_0, b_1, \ldots, b_n\in\mathfrak T\) und \(b_0\ne 0\).
Verf. beweist die Behauptung: \(c(n) = n\), womit das Analogon des Problems der simultanen Approximation \(n\) \((n > 1)\) reeller Zahlen durch rationale für Reihen obiger Art vollständig gelöst wird.
Reviewer: Orhan Ş. İçen

MSC:

11J13 Simultaneous homogeneous approximation, linear forms
11J17 Approximation by numbers from a fixed field
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
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