Note on the median of a set of numbers. (English) JFM 48.0291.01

Jackson, D.

American M. S. Bull. 27, 160-164 (1921).

Bei \(n\) gegebenen Zahlen \(a_1\leqq a_2 \leqq\cdots\leqq a_n\) der \(x\)-Achse ist diejenige Zahl \(x=x_1\), welche die Summe \[ S_1(x)= \sum_{i=1}^n|x - a_i| \] zum Minimum macht, für ungerades \(n\) eindeutig bestimmt als die mittlere der \(n\) Zahlen, für gerades \(n = 2k\) dagegen unter der Bedingung \(a_k \leqq x \leqq a_{k+1}\) beliebig. Verf. zeigt, daß für jedes \(p > 1\) eine eindeutig bestimmte Zahl \(x = x_p\) existiert, welche die Summe \[ S_p(x)= \sum_{i=1}^n| x - a_i|^p \] zum Minimum macht. Für \(p \to1\) strebt \(x_p\) einem wohlbestimmten Grenzwerte \(X\) zu, der mit \(x_1\) zusammenfällt, falls diese Zahl eindeutig bestimmt ist (d. h. für ungerades \(n\), und für gerades \(n\) bei \(a_k = a_{k+1}\)), und andernfalls zur Definition von \(x_1\) dienen kann. Für \(p\to\infty\) strebt \(x_p\) gegen \(\frac12(a_1 + a_n)\).

Reviewer: Neder, Prof. (Münster i. W.)

JFM Section:

Vierter Abschnitt. Analysis. Kapitel 3. Allgemeine Theorie der reellen Funktionen. C. Neuere Theorie der reellen Funktionen. Mengentheoretische Methoden. Neuere Theorie der Integration und der Bestimmung des Volumens und der Oberfläche. Folgen von Funktionen. Approximation reeller Funktionen durch Polynome.