Satelliten; singuläre Erweiterungen und Derivationen. (German) Zbl 0194.01802

Brinkmann, Horst

Manuscr. Math. 2, 203-239 (1970).

Aus dem im zweiten Tell dieser Arbeit entstandenen Bedirfnis, den Begriff Satelliten nicht nur für abelsche Kategorien zur Verfügung zu haben, ist ihr erster entstanden. S. M a c L a n e [Homology (1963; dies. Zbl. 133, 265), S. 380-382] definiert Satelliten für einen additiven Funktor \( \mathrm{T}: \underline{\mathrm{A}} \rightarrow \underline{\mathrm{R}} \) auf wei äquivalente Arten: Die erste Formulierung bezieht sich auf die Kategorie \( \underline{S} \) der kurzen exakten Sequenzen in \( A \) und die terminale und initiale Projektion \( P \) und \( Q \); die zweite dagegen auf den Funktor Ext : \( \underline{A}^{O P} \times \underline{A} \rightarrow \underline{A} b \). Aber wie man nach Yoneda Ext aus \( P, Q \) erhält, so läßt sich - leicht abgewandelt - aus irgendeinem Paar Funktoren \( P: \underline{S} \rightarrow \underline{A}, Q: \underline{S} \rightarrow \underline{B} \) ein Funktor \( E: \underline{A}^{O P} \times \underline{B} \rightarrow \underline{E} \) s konstruieren. Damit werden die Definitionen Mac Lanes’ für irgendeinen Funktor \( \mathrm{T} \) verwendbar, und sie bleiben äquivalent. - Für eine Gruppe bzw. assoziative Algebra A ist der Begriff Erweiterung eines Moduls bzw. Bimoduls \( M \) über A definiert. Im zweiten Teil dieser Arbeit wird gezeigt, wie man, ausgehend von einer kategoriellen Definition dieses Begriffs, ganz nach dem Vorgang Yonedas bei Ext die bekannten Kohomologietheorien für Gruppen, assoziative Algebren und ähnliche einheitlich formulieren kann (wobei - wie neuerdings üblich - die nullte Kohomologiegruppe wegfällt und die erste durch die Derivationen von A in \( M \) zu ersetzen ist): \( \mathrm{H}^{\mathrm{n}+1}(\mathrm{~A}, \mathrm{M}) \) ist die Menge der Äquivalenzklassen aller n-fachen Erweiterungen von \( M \) über \( A \), versehen mit der Baerschen Addition.

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Keywords:

general algebraic structures

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