With suitably chosen units, the field equations of general relativity in the absence of matter are \( R_{a b}-\frac{1}{2} g_{a b} R+E_{a b}=0 \) and \( \partial\left(F^{a b} \sqrt{-g}\right) / \partial x^{b}=0 \), where \( R_{a b} \) is the Ricci tensor, \( F^{a b} \) the electromagnetic six-vector and \( E_{a b} \) the electromagnetic energytensor. The author shows that a spherically symmetric field of gravitation and electromagnetism is necessarily static, and that, in the absence of matter, spherically symmetric waves cannot exist. The most general spherically symmetric field outside matter is in fact shown to be \( d s^{2}=P d t^{2}-P^{-1} d r^{2}-r^{2}\left(d \theta^{2}+\sin ^{2} \theta d \varphi^{2}\right) \), where \( P=1-2 m r^{-1}+\frac{1}{2}\left(\varepsilon^{2}+\mu^{2}\right) r^{-2} \), the constants \( m, \varepsilon, \mu \) giving respectively measures of the mass, electric charge and ”magnetic pole-strength” of the matter around the origin which produces the external field. These conclusions are valid not only for general relativity, but also for the Veblen-Hoffmann projective theory (with zero index), the Einstein-Mayer unified theory of 1931, and the Kaluza-Klein fivedimensional theory.

Ein reines Gravitationsfeld von kugelsymmetrischer Verteilung ist nach der Relativitätstheorie notwendig statisch. Wie verhält es sich bei einem gravitoelektromagnetischen Feld? Wie lauten ferner die allgemeinen kugelsymmetrischen Feldgleichungen in abwesenheit von Materie? Die Beantwortung dieser Fragen beginnt Verf. mit der Unteruschung des Bogenelementes \[ ds^2 = A(r, t) dt^2 - B(r, t) dr^2 - C(r, t) (d \Theta ^2 + \sin ^2 \Theta d \Phi ^2) \] allgemeinster Kugelsymmetrie (vgl. J. Eisland, 1925; F. d. M. 51, 706 (JFM 51.0706.*)) und gewinnt zunächst den Potentialvektor: \[ \Phi _1 = \Phi _1 (r, t), \quad \Phi _2 = \Phi _3 = 0, \quad \Phi _4 = \Phi _4 (r, t). \]
Für den Feldtensor \(F_{ab}\) ergibt sich aus der Symmetrieforderung: \[ F_{12} = F_{13} = F_{24} = F_{34} = 0, \quad F_{14} =F_{14} (r, t), \quad F_{23} = f(r, t) \sin \Theta, \] schließlich für \[ G_{ab} = R_{ab} - \frac {1}{2} g_{ab} R \] aus dem gleichen Grunde: \[ G_{12} = G_{13} = G_{23} = G_{24} = G_{34} = 0, \quad G_{33} =G_{22} \sin ^2 \Theta, \] \(G_{11}\), \(G_{22}\), \(G_{44}\), \(G_{14}\) unabhängig von \(\Theta \) und \(\Phi \).
Weiterhin wird gezeigt: Auch im allgemeinen gravitoelektromagnetischen Feld ist der Reldanteil der Gravitation notwendig von statischem Charakter, wenn Kugelsymmetrie vorausgesetzt wird. In Abwesenheit von Materie erhält Verf. als allgemeinstes kugelsymmetrisches Maßfeld von Elektrizität und Gravitation das Bogenelement: \[ \begin{gathered} ds^2 = \left ( 1 - \frac {2m}{r} + \frac {\varepsilon ^2 + \mu ^2}{2r^2} \right ) dt^2 - \frac {dr^2}{1-\frac {2m}{r} + \frac {\varepsilon ^2 +\mu ^2}{2r^2} } - r^2 (d\Theta ^2 + \sin ^2 \Theta d \Phi ^2), \\ F_{14} = \frac {\varepsilon }{r^2}, \quad F_{23} = \mu \sin \Theta. \end{gathered} \] Die Größen \(\varepsilon \) und \(\mu \) lassen sich als elektrische und magnetische Feldstärken deuten, solange die Zeitachse ungeändert bleibt. Invariante Bedeutung besitzt natürlich nur die Größe \[ \sqrt {F^{ab} F_{ab}} = \sqrt {2 \left ( -\frac {\varepsilon ^2}{r^4} + \frac {\mu ^2}{r^4} \right )}. \] Das Ergebnis zeigt weiter, daß die Existenz physikalisch wirklicher kugelsymmetrischer Gravitations- bzw. elektromagnetischer Wellen unmöglich ist (von nichtphysikalisch wirklichen “Koordinatenwellen” ist abzusehen).