Ist \( E \) ein Banachraum, \( \bar{E} \) sein konjugierter, so heißt \( E \) regulär, wenn \( E=\overline{\bar{E}} \) ist. Eine Menge \( M \) von Elementen aus \( E \) heißt transfinit abgeschlossen, wenn es zu jeder beschränkten transfiniten Folge \( x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{\eta}, \ldots(\eta<\vartheta) \) aus \( M \) ein \( x_{0} \) gibt mit \( \varliminf_{\eta<\vartheta} f\left(x_{\eta}\right) \leqq f\left(x_{0}\right) \leqq \varlimsup_{\eta<\vartheta} f\left(x_{\eta}\right) \) für alle \( f \in \bar{E} \). Eine konvexe, abg. Menge \( K \) ist dann und nur dann transfinit abg., wenn jede transfinite Folge \( K_{\eta} \) von konvexen, abg., nichtleeren Mengen einen nichtleeren Durchschnitt hat, sobald jedes \( \boldsymbol{K}_{\boldsymbol{\eta}} \). die folgenden enthält. Es wird bewiesen, daß \( E \) dann und nur dann regulär ist, wenn die Einheitskugel \( R \) von \( E \) schwach kompakt ist und wenn jede konvexe Menge von Randpunkten \( x \) von \( R \), die einer Gleichung \( f(x)=|f|, f \in E \), genügen, transfinit abg. ist. Ferner gilt, daß jeder im Sinn von J. A. Clarkson (dies. Zbl. 15, 356) gleichmäßig konvexe Raum regulär ist.

Ist \(E\) ein Banachraum, \(\overline E\) sein konjugierter, so heißt \(E\) regulär, wenn \(E =\overline{\overline E}\) ist. Eine Menge \(M\) von Elementen aus \(E\) heißt transfinit abgeschlossen, wenn es zu jeder beschränkten transfiniten Folge \(x_1,\, x_2,\,\ldots,\, x_\eta,\,\ldots\) (\(\eta < \vartheta\)) aus \(M\) ein \(x_0\) gibt mit \(\varliminf\limits_{\eta < \vartheta} f(x_\eta) \leqq f(x_0) \leqq \varlimsup\limits_{\eta < \vartheta}f(x_\eta)\) für alle \(f\in\overline E\). Eine konvexe abgeschlossene Menge \(K\) ist dann und nur dann transfinit abgeschlossen, wenn jede transfinite Folge \(K_\eta\) von konvexen, abgeschlossenen nichtleeren Mengen einen nichtleeren Durchschnitt hat, sobald jedes \(K_\eta\) die folgenden enthält. Es wird bewiesen, daß \(E\) dann und nur dann regulär ist, wenn die Einheitskugel \(R\) von \(E\) schwach kompakt ist, und wenn jede konvexe Menge von Randpunkten \(x\) von \(R\), die einer Gleichung \(f(x) = |f|\), \(f\in E\) genügen, transfinit abgeschlossen ist. Ferner gilt, daß jeder im Sinn von J. A. Clarkson (Trans. Amer. math. Soc. 40 (1936), 396-414; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 460) gleichmäßig konvexe Raum regulär ist.