Un théorème sur les systèmes linéaires de courbes algébriques planes à système adjoint reductible. (French) Zbl 0031.41001

Jongmans, F.; Nollet, L.

Acad. Belgique, Bull. Cl. Sci., V. Ser. 34, 617-625 (1948).

Sia \( |C| \) un sistema lineare irriducibile di curve piane, il quale abbia la dimensione \( r \) e il genere \( p \) : indichiamo con \( \left|C^{\prime}\right| \) il suo sistema aggiunto puro d’indice uno. Fino dal 1891, nelle sue ormai classiche ,,Ricerche generali sopra i sistemi lineari di curve piane” [Mem. Accad. Sci. Torino, II. s. 42,3-43 (1892)] G. Castelnuovo - dopo avere avvertito che, se \( \left|C^{\prime}\right| \) è composto con un fascio di curve \( E \), queste bisecano le \( C \), le quali risultano cosi iperellittiche - ha fatto l’osservazione che, nell’ipotesi \( r>p+1 \), le \( E \) sono razionali. - Più tardi (1897) il Wiman ha ritenuto di poter affermare la validità di questo risultato in ogni caso, senza alcuna condizione restrittiva: egli però non ha dato del suo asserto una prova esauriente, poichè si è limitato, più che altro, a rimandare a precedenti ricerche di S. Kantor (1895). Così la questione appare non completamente precisata. - Di recente essa è stata ripresa in esame da L. Nollet \( [ \), Recherches sur les systèmes linéaires de courbes algébriques planes”, Mém. Soc. Sci. Liège 7, 469-554 (1947)] che ha mostrato come per il genere \( p^{\prime} \) della \( E \) valga la limitazione \( p^{\prime} \leq 2 \). Inoltre ha aggiunto che \( p^{\prime}=2 \) può aversi solo se \( |C| \) si riduce ad un fascio \( \overrightarrow{\mathrm{di}} \) curve iperellittiche ’(soddisfacenti a certe ulteriori ipotesi), e che il caso \( p^{\prime}=1 \), se è possibile, s’incontra soltanto quando \( |C| \) appartenga a taluni tipi particolari, che vengono classificati in quattro famiglie. Però l’effettiva esistenza di queste non risulta provata, e ne nasce quindi un nuovo problema che lo stesso Nollet affronta ora con la collaborazione di F. Jongmans. La conclusione a cui essi giungono è negativa, restando così esclusa la possibilità che si abbia \( p^{\prime}=1 \). - Il risultato consente agli A A. di precisare talune leggi dell’aggiunzione. Se l’aggiunto \( \left|C^{\prime}\right| \) di un sistema \( |C| \) - almeno doppiamente infinito \( (r \geq 2) \) - non è irriducibile, esso è certamente composto per mezzo di un fascio di curve razionali \( \left(p^{\prime}=0\right) \). Inoltre si ha che, nella serie dei successivi aggiunti di un sistema \( |C| \), di dimensione \( r \geq 1 \), solo il primo e l’ultimo possono essere riducibili: se lo è il primo risulta \( r=1 \) e le \( E \) sono di genere \( p^{\prime}=2 \). Quando invece è l’ultimo aggiunto che si spezza, le \( E \) sono ancora razionali \( \left(p^{\prime}=0\right) \). Qualora infine esista un solo sistema aggiunto e questo sia composto con il fascio \( |E| \), si cade nuovamente in \( p^{\prime}=0 \). - Gli AA. passano poi allo studio del sistema, \( |D| \), penultimo aggiunto di \( |C| \), e dànno la classificazione dei vari casi possibili. Tra l’altro, precisano anche che, quando \( |D| \) è un fascio, lo stesso accade di \( |C|(r=1) \), e che, se \( |C| \neq|D| \), le \( C \) sono del genere due. - Terminano con complementi ed osservazioni varie, portando le conseguenze della loro ricerca fino alla dimostrazione di un inoto teorema di Kantor-Wiman.

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MSC:

14-XX	Algebraic geometry
51-XX	Geometry

Keywords:

algebraic geometry