A contribution to the metric theory of Diophantine approximations. (English) Zbl 0048.27803

Kurzweil, Jaroslav

Czech. Math. J. 1(76), 149-178 (1952).

Nach einem klassischen Satz von Chinčin (vgl. Koksma, dies. Zbl. 12, 396) ist das Lebesguesche Maß der \( x \) [im Intervall \( (0,1)] \), welche bei gegebener Funktion \( g(q)[g(q) \) monoton wachsend \( \rightarrow \infty \) für \( q \rightarrow \infty] \) die Approximation \( g(q) \) zulassen, Null, wenn \( J(g)=\int^{\infty} \frac{d x}{x g(x)} \) konvergiert, und gleich Eins, wenn \( J \) divergiert. V. Jarnik (vgl. das obige Zitat) hat in bekannten Arbeiten die Menge der \( x \), für welche \( J \) konvergent ist, mit Hilfe des Hausdorffschen Maßes untersucht. Der Verf. untersucht nun in gleicher Weise die Menge \( Q_{g} \) der \( x \), welche die Approximation \( g(q) \) nicht zulassen, wenn \( J \) divergent ist. (Das Lebesguesche Maß ist ja dann Null.) Der Hauptsatz der Arbeit ist folgender: Es sei \( g(q) \) stetig für \( q \geq w, g(q) \geq 4 \sqrt{2}, J(g)=\infty \). Für jede Funktion \( h(q) \) mit \[ 1 \leqq h(q) \leqq g(q)+2 \text { gehe } g(q h(q)) / g(q) \rightarrow 1 \text { für } q \rightarrow \infty \] Ist weiter \( f_{1}(d)=\exp \left\{\frac{2}{3} \int_{w}^{1 / \sqrt{d}} \frac{d x}{x g(x)}\right\}, f_{2}(d)=\exp \left\{2 \int_{w}^{1 / \sqrt{d}} \frac{d x}{x g(x)}\right\} \), dann ist für \( g(q) \geq 10^{3} \), \( H_{m} f_{1}\left(Q_{g}\right)=0, H_{m} f_{2}\left(Q_{g}\right)=\infty \quad\left(H_{m} f=\right. \) Hausdorffsches \( \mathrm{MaB} \) in bezug auf die Funktion \( \left.f\right) \). Verf. diskutiert nun, wann die Voraussetzung (1) erfüllt ist. Er stellt u. a. fest, daß dies der Fall ist, wenn \( g(x) \) monoton wachsend \( >0 \) ist und wenn es eine ganze Zahl \( n \) gibt, so daß \( g(x)<\log ^{n} x \) und wenn \( g(x \log x) / g(x) \rightarrow 1 \), für \( x \rightarrow \infty \) (Bedingung A). Verf. zeigt unter der Voraussetzung, daß zwei Funktionen \( g_{1}(q), g_{2}(q) \) die Voraussetzungen des Hauptsatzes und die Bedingungen A erfüllen und \( g_{2}(q) / g_{1}(q) \rightarrow \infty \) für \( q \rightarrow \infty \) ist, daß \( \operatorname{Hm} f\left(Q_{g 1}\right)=0, H m f\left(Q_{g_{2}}\right)=\infty \) für \( g_{1}(q), g_{2}(q)>10^{3} \) ist, wo \( f(d)=\exp \left\{\int_{w}^{1 / \sqrt{d}} \frac{d x}{x \sqrt{g_{1}(x) g_{z}(x)}}\right\} \) ist. Die Funktion \( f \) gestattet also die Menge \( Q_{g 1} \) und \( Q_{g 2} \) zu unterscheiden. Für \( g(q)=\log ^{\alpha} q(0<\alpha \leq 1) \) wird in bezug auf die Familie der Funktionen \( f_{s}(d)=\exp \log ^{-s} 1 / d(-1<s \leq 0) \) die Dimension von \( Q_{g} \) zu \( \alpha-1 \) bestimmt und dies auch auf allgemeine Funktionen \( g, f \) ausgedehnt. Für \( g \) konstant und \( f_{s}(d)=d^{s-1}, 0<s \leqq 1 \) liegt die Dimension von \( Q_{g} \) zwischen \( 1-0,99 / g \) und \( 1-1 / 4 g \).

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number theory

References:

[1]	A. Khintchine: Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Mathematische Zeitschrift 24 (1926), 706-714. · JFM 52.0183.02 · doi:10.1007/BF01216806
[2]	Vojtěch Jarník: Diophantische Approximationen und Hausdorffsches Mass. Математический Сборник 36 (1929), 371-382. · JFM 55.0719.01
[3]	Vojtěch Jarník: Über die simultanen diophantischen Approximationen. Mathematische Zeitschrift 33 (1931), 505-543. · JFM 57.1370.01 · doi:10.1007/BF01174368
[4]	Vojtěch Jarník: Zur metrischen Theorie der diophantischen Approximationen. Prace matematyczno-fizyczne, 36 (1928-29), 91-106.