Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogoroff. (English) Zbl 0056.12301

Segal, I. E.

Am. J. Math. 76, 721-732 (1954).

Der Verf. verwendet als mathematisches Modell für die Wahrscheinlichkeitsrechnung an Stelle des sonst üblichen Merkmalraumes mit der Wahrscheinlichkeit als MaB (Wahrscheinlichkeitsraum) die Algebra \( \operatorname{Re} \) der beschränkten zufälligen Variablen mit dem Erwartungswert \( E \) als linearem Funktional, axiomatisch folgendermaßen definiert: \( \mathfrak{R} \) ist eine kommutative Algebra mit einer Einheit \( e \) über dem Körper der reellen Zahlen ; \( E \) ist ein lineares Funktional über \( \mathfrak{R} \) mit \( E(e)=1 \), \( E\left(a^{2}\right) \geq 0 \) und \( E\left(a^{2}\right)=0 \) nur für \( a=0 \); zu jedem \( a \in \mathfrak{R} \) existiert eine Zahl \( \mu \), so daß \( E\left(a b^{2}\right) \leq \mu E\left(b^{2}\right) \) für jedes \( b \in \operatorname{Re} \). Jede solche ”Wahrscheinlichkeitsalgebra” läßt sich eindeutig durch eine Algebra \( \mathfrak{R}^{\prime} \) von beschränkten zufälligen Variablen im üblichen Sinne über einem Wahrscheinlichkeitsraum und durch den üblichen Erwartungswert darstellen, so daß das System der meßbaren Mengen den kleinsten Booleschen \( \sigma \)-Ring bildet, der die Urbilder Borelscher Zahlenmengen vermöge der Funktionen aus \( \mathfrak{K}^{\prime} \) enthält. Als Anwendung wird der Kolmogoroffsche Satz über die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsraumes \( \mathfrak{P} \) und einer Schar von zufälligen Variablen \( X_{\lambda} \) (mit beliebigem Indexbereich) über \( \mathfrak{P} \), so daß jedes System \( X_{\lambda_{1}}, \ldots, X_{\lambda_{n}} \) die vorgegebene mehrfache Verteilung \( m_{\lambda_{1} \ldots \lambda_{n}} \) hat, von reellwertigen auf verallgemeinerte zufällige Variable übertragen. Eine solche verallgemeinerte zufällige Variable \( X_{\lambda} \) ist (der Betrachtung der Umkehrung eindeutiger im Merkmalraum erklärter Funktionen entsprechend) definiert als homomorphe, die Einheit erhaltende Abbildung eines (ebenfalls von vornherein gegebenen) Booleschen \( \sigma \)-Ringes \( \mathfrak{B}_{\lambda} \) in den Maßring von \( \mathfrak{P} \), und die mehrfache Verteilung von \( X_{\lambda_{1}}, \ldots \) \( \ldots, X_{\lambda_{n}} \) soll die Wahrscheinlichkeit (in \( \mathfrak{P} \) ) von \( \bigcap_{i=1}^{n} X_{\lambda_{2}}\left(b_{i}\right) \) als Funktion der \( b_{i} \) in \( \mathfrak{B}_{\lambda_{i}} \) bedeuten. Die Funktionen \( m_{\lambda_{1} \ldots \lambda_{n}} \) sind dementsprechend in \( \mathfrak{B}_{\lambda_{1}} \times \cdots \times \mathfrak{B}_{\lambda_{n}} \) erklärt. - Den Abschluß bilden Bemerkungen über zufällige Variable mit Werten in linearen Räumen und über weitere Anwendungsmöglichkeiten.

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Probability theory