On Meijer transform of two variables. (English) Zbl 0073.32702

Mehra, A. N.

Bull. Calcutta Math. Soc. 48, 83-94 (1956).

Whittakers Funktion \( W^{k, m}(z) \) benutzend, behandelt Verf. die Integralabb. \( \mathfrak{M}_{2} \) \( \varphi(p, q)=p q \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} \exp \left[-\frac{1}{2}(p x+q y)\right] W_{k+1 / 2, m}(p x) W_{k_{1}+1 / 2, m_{1}}(q y)(p x)^{-k-1 / 2} \) \( (q y)^{-k_{1}-1 / 2} f(x, y) d x d y \), die die von Meijer (dies. Zbl. 25, 184) eingeführte \( \mathfrak{M}_{1} \) von einer auf zwei Veränderliche ausdehnt. Sonderfälle: A) \( k= \pm m_{.} k_{1}= \pm m_{1} ; \mathfrak{M}_{2} \) wird die zweistufige Laplacesche Abbildung (A.). - B) \( k=\frac{1}{2} n-\frac{1}{4}, m= \pm \frac{1}{4} \), \( k_{1}=\frac{1}{2} n_{1}-\frac{1}{4}, m_{1}= \pm \frac{1}{4} ; \mathfrak{M}_{2} \) wird die zweistufige A. durch das Produkt \( D_{n} \stackrel{\frac{1}{4}}{n_{1}} \) von Funktionen des parabolischen Zylinders. - C) \( k=\frac{1}{2} n+l, m= \pm \frac{1}{2} n, k_{1}= \) \( \frac{1}{2} n_{1}+l_{1}, m_{1}= \pm \frac{1}{2} n_{1} \) mit natürlichen \( l, l_{1} ; \mathfrak{M}_{2} \) wird die zweistufige A. durch das Produkt \( L_{l}^{n} L_{l_{1}}^{n_{1}} \) Laguerrescher Polynome. - Der weitere Inhalt der Arbeit gliedert sich in drei Teile: I. Allgemeine für \( \mathfrak{M}_{2} \) gültige Regeln. - II. A. einfacher Funktionen wie \( f(x, y)= \) a) \( x^{n} y^{m_{2}} \) (lies so); b) \( (x+y)^{n} \) mit natürlichem \( n \); c) \( (x y)^{n / 2} \) \( J_{n}\left[2(x y)^{1 / 2}\right] \), mit d), e) \( n= \pm \frac{1}{2} \); f) \( x^{\lambda} y^{\mu} e^{-a x-b y} \); g) \( H_{v}\left[2(x y)^{1 / 2}\right] \mathrm{mit} \) Struves Funktion \( H_{v}(z) \); h) \( L_{v}\left[2(x y)^{1 / 2}\right] \) mit Struves Funktion \( L_{\nu}(z) \) imaginären Arguments; i) \( I_{y}\left[2(x y)^{1 / 2}\right] \mathrm{mit} \) ebensolchen Besselschen Funktionen; j) \( \frac{2^{n} x^{n} y^{n}}{n! n!} F_{03}(n+1 \), \( \frac{1}{2} n+1, \frac{1}{2} n+\frac{1}{2} ; x^{2} y^{2} \). - III. Verschiedene Ergebnisse über \( \mathfrak{M}_{2} \) mit besonderen Parameterwerten, darunter der Ausdruck gewisser Doppelintegrale über das Urgebiet, in deren Integranden \( p \) und \( q \) auftreten, durch abbrechende Reihen von Bildfunktionen. Der erste dieser vier Sätze besagt: Ist \( \varphi_{n \rightarrow r, n \rightarrow r}(p, q) \operatorname{das}\left(L_{n-r}^{\alpha+2 r} L_{n-r}^{\alpha+2 r}\right) \) Bild [s. o. B)] von \( f(x, y) \) (lies so auf S. 89, Z. - 4), dann ist \[ \begin{aligned} p q \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty}(p q x y)^{-n} & e^{-p x-q y} L_{n}^{\alpha}(p x+q y) f(x, y) d x d y \\ & =\sum_{r=0}^{n} \frac{(-1)^{r}(\alpha+2 r) \Gamma(\alpha+r)}{(n-r)! r! \Gamma(\alpha+n+r+1)} \varphi_{n-r, n-r}(p, q). \end{aligned} \] Beispiel: \( f(x, y)=(x y)^{n / 2} J_{n}\left[2(x y)^{1 / 2}\right] \); II, c) mit \( k=\frac{1}{2} \alpha+n, m=\frac{1}{2} \alpha+r \) ist zu benutzen.

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Keywords:

Integral Equations; Integral Transforms