Ungleichungen über Sternpolyeder. (German) Zbl 0086.15405

Florian, August

Rend. Sem. Mat. Univ. Padova 27, 16-26 (1957).

Für die Oberfläche \( F \) eines in der Einheitskugel des gewöhnlichen Raumes liegenden konvexen Polyeders mit \( e \) Ecken, \( k \) Kanten und \( f \) Flächen gilt die von L. Fejes Tóth stammende Ungleichung \[ F \leq k \sin \left(\frac{\pi f}{k}\right)\left\{1-\operatorname{ctg}^{2}\left(\frac{\pi f}{2 k}\right) \operatorname{ctg}^{2}\left(\frac{\pi e}{2 k}\right)\right\} \] wobei Gleichheit für die fünf regulären Polyeder besteht (vgl. S. 154 des bekannten Buches, dies. Zbl. 52, 184). Verf., der auch einen vollständigen Beweis für (*) erbrachte (vgl. dies. Zbl. 73, 174), dehnt die Gültigkeit dieser Ungleichung in der vorliegenden Arbeit auf Sternpolyeder aus. Das Gleichheitszeichen gilt dann für die neun regulären Sternpolyeder. Die Anzahlen \( e, k \) und \( f \) sind für nichtkonvexe Polyeder auf die von Fejes Tóth angegebene Weise passend zu modifizieren, wie dies bei der Herleitung der analogen Ungleichungen für Sternpolyeder, die eine Einheitskugel enthalten, geschehen ist (vgl. dies. Zbl. 73, 393). Der Nachweis von \( \left(^{*}\right) \) ist noch an eine naheliegende Fußpunktsbedingung gebunden, die von den zugelassenen Sternpolyedern erfüllt sein muß. Ein Druckfehler in Formel (13) ist mit unserer Anschrift (*) korrigiert.

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Keywords:

metric geometry, convex geometry, integral geometry