Cassels, J. W. S. On a class of exponential equations. (English) Zbl 0102.03507 Ark. Mat. 4, 231-233 (1961). In dieser Note wird folgender Satz bewiesen: Es seien \( \Pi_{1}, \Pi_{2} \) zwei endliche Mengen von rationalen Primzahlen und \( P_{1}, P_{2} \) die Mengen aller positiven ganzen Zahlen, deren sämtliche Primfaktoren jeweils in \( \Pi_{1}, \Pi_{2} \) enthalten sind. Dann hat die Gleichung \( X-Y=C, X \in P_{1}, Y \in P_{2}, C \neq 0 \) eine gegebene ganze Zahl, eine endliche Anzahl von Lösungen in \( X, Y \), welche in endlich vielen Schritten \( 3^{*} \) bestimmt werden können. Das eigentlich Neue in diesem Satz liegt in der Bestimmbarkeit aller Lösungen in endlich vielen Schritten, sonst ist er eine bekannte Folge des Thueschen Satzes über die Approximation algebraischer Zahlen durch rationale. Durch Benutzung eines Ergebnisses von Gelfond [Vgl. Transcendental and algebraic numbers (New York 1960, Besprechung des russischen Originals in diesem Zbl. 48, 33), S. 126, Formel (102)] wird zunächst folgender Hilfssatz bewiesen (Lemma 3), wovon der obige Satz eine leichte Folge ist: Es sei \( I \) eine endliche Menge von Primzahlen und \( P \) die Menge aller positiven ganzen Zahlen, deren sämtliche Primfaktoren in \( \Pi \) enthalten sind. Es seien ferner \( D>0 \) und \( E \neq 0 \) zwei ganze rationale Zahlen, wobei kein Primfaktor von \( E \) in \( \Pi \) enthalten ist. Dann hat die Gleichung \( Z^{2}-D Y^{2}=E, Y \in P \) und \( Z \) ganzrational, nur endlich viele Lösungen in \( Z, Y \). Diese Lösungen können alle in endlich vielen Schritten gefunden werden. This review text is based on a scanned copy of the printed version. It was converted to LaTeX using MathPix and a specifically developed LLM to assign the text parts to the metadata. It may contain errors, misassignments, or gaps; in particular, the reviewer signature has not yet been extracted reliably in general. If you notice any errors, please report them directly to our editorial team via the Contact Form. Page: −5 −4 −3 −2 −1 ±0 +1 +2 +3 +4 +5 Show Scanned Page Cited in 1 ReviewCited in 6 Documents Keywords:number theory × Cite Format Result Cite Review PDF Full Text: DOI References: [1] Nagell, T., Sur une classe d’équations exponentielles. Ark. Mat. 3, 54 (1958). · Zbl 0083.03902 [2] Гелгфоид А. О. Трансцендентные и алгебраические числа; Moscow, 1952. (Added in proof: An English translation has just appeared, published by the Dover Press.) · Zbl 1200.11037 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.