Applications entree-sortie sur un corps fini. (French) Zbl 0255.94024

Prepelita, Valeriu

Rev. Franc. Automat. Inform. Rech. Operat. 6(1972), No.R-3, 3-21 (1973).

Dans cet article on étudie les systèmes linéaires discrets, sur un coprs fini, a l’aide de trois definitions: la description interne (Kalman), la matrice de transfert et la description externe. On donne des methodes directes pour passer d’une description à l’autre. On considère la description interne des systèmes lineaires par des homomorphismes \( f: K^{\mathbb{M}}[z] \rightarrow K^{p} \); dans le cas ou \( K \) est un corps fini, on obtient la caractérisations des toutes les homomorphismes \( f \) : \( \mathrm{q}-1 \quad \mathrm{~T}-1 \) telles que \( f(u)=\sum_{s=0} M_{a} A_{1}+\sum_{e \geq 0} \sum_{s=0} M_{q+s} A_{e T+q+s} \quad \forall u=\sum_{s \geq 0} A_{b} z^{s} \in K^{\mathbb{m}}[z] \). Ensuite on obtient la matrice de transfert correspondante aux homomorphisme \( f \) à l’aide des elements des matrices \( M_{3} \). On donnes une méthode directe pour obtenir avec ces données une réalisation du système, c’est-à-dire les matrices \( F, G, H \) afin que les equations d’état et de sortie \( s^{\prime} \) écrivent: \( x(t+1)=F x(t)+G u(t) \), \( y(t)=H x(t) \). Si \( m \) ou \( p \) sont 1, la méthode donnée permet d’obtenir une réalisation minimale. S1 \( m>1, p>1 \), la réalisation \( n^{\prime} \) est pas minimale, dans l’article est decrit un algorithme pour la détermination d’une réalisation minimale; avec une modification non importante, cet algorithme peut être utilisé même dans le cas des corps commutatifs quelconques. L’étude des systèmes linéaires sur un coprs finl est Justifié par les applications possibles dans la théorie des codes.

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MSC:

68Q45	Formal languages and automata
94B99	Theory of error-correcting codes and error-detecting codes
93C05	Linear systems in control theory

References:

[1]	Gh. GALBURA, Corpuri de functii algebrice si varietati algebrice.
[2]	Arthur GILL, Linear Sequential Circuits, Mc Graw-Hill, 1966. Zbl0173.19003 MR356971 · Zbl 0173.19003
[3]	R. E. KALMAN, Algebraic Aspects of the Theory of Dynamical Systems. Differential Equations and Dynamical Systems, 1967. Zbl0207.39501 MR220532 · Zbl 0207.39501
[4]	R. E. KALMAN, Lectures on controllability and observability. C.I.M.E., 1968 . Zbl0208.17201 MR280225 · Zbl 0208.17201
[5]	R. E. KALMAN, P. L. FALB et M. A. ARBIB. Topics in Mathematical System Theory, Mc. Graw. HilL, 1969 . Zbl0231.49001 MR255260 · Zbl 0231.49001
[6]	Serge LANG, Algebra, Addison-Wesley, 1965. Zbl0193.34701 MR197234 · Zbl 0193.34701