Class number computations of real Abelian number fields. (English) Zbl 0505.12010

van der Linden, F. J.

Math. Comput. 39, 693-707 (1982).

Es seien \( K \) ein reeller abelscher Zahlkörper, \( h(K) \) die Klassenzahl von \( K, f(K) \) der Finrer von \( K \), d.h. die kleinste natürliche \( Z a h l m \) mit \( K \subset Q\left(\zeta_{m}\right) \) ( \( \zeta_{\mathrm{m}} \) eine primitive m-te Einheitswurzel), \( G(K) \) die maximale total-unverzweigte Erweiterung von \( K \), die abelsch uber \( Q \) ist und \( g(K)=[G(K): K] \). Mit \( G R H \) wird die verallgemeinerte Riemannsche Vermutung für die Zetafunktion des Hilbertschen Kassenkörpers von \( Q\left(\zeta_{p}(k)\right) \) bezeichnet. In dieser Arbeit werden die folgenden Ergebnisse bewiesen: Theorem 1. 505.12011 Es sei \( f(K)=q \) eine Primzahlpotenz. Dann gilt \[ h(K)=1 \text {, wenn } \varphi(q) \leq 66 \text {. } \] Theorem 2. Es sei \( f(K)=q \) eine Primzahlpotenz und GRH erfiult. Dann gilt: \[ \begin{array}{c} h(K)=4 \text { für } q=163 \\ h(K)=1 \text { für alle andere } K \text { mit } \varphi(q) \leq 162 \end{array} \] Theorem 3. Es sei \( f(K)=f \) keine Primzahlpotenz. Dann gilt: \[ \begin{array}{l} h(K)=2 \cdot g(K)=2 \text {, wenn } K \text { der maximale reelle Teilkörper } Q\left(\zeta_{136}\right)^{+} \text {von } Q\left(\zeta_{136}\right) \text { ist, } \\ h(K)=g(K) \text { für alle anderen } K \text { mit } f \leq 200, \varphi(f) \leq 72, f \neq 148,152, \\ h(K)=g(K) \text { für } f=165. \end{array} \] Theorem 4. Es sei \( f(K)=f \) keine Primzahlpotenz und GRH erfillt. Dann gilt: \[ \begin{array}{l} h(K)=2 \cdot g(K)=2 \text { für } K=\mathbb{Q}\left(\zeta_{136}\right)^{+} \\ h(K)=2 \cdot g(K) \text { für } f=145 \text { und } \sqrt{145} \in K \\ h(K)=4 \cdot g(K)=4 \text { für } f=183 \text { und } 12 \mid[K: Q], \\ h(K)=4 \cdot g(K) \text { furr alle anderen } K \text { mit } f \leq 200. \end{array} \]

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MSC:

11R23	Iwasawa theory
11R18	Cyclotomic extensions
12-04	Software, source code, etc. for problems pertaining to field theory

Keywords:

class number; real Abelian number fields; Masley’s method; lower bounds of discriminant