The Gauss-Bonnet theorem for 2-dimensional spacetimes. (English) Zbl 0591.53053

Birman, Graciela S.; Nomizu, Katsumi

Mich. Math. J. 31, 77-81 (1984).

Obwohl der Satz von Gauß-Bonnet bereits für pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten höherer Dimension formuliert worden ist, bringt die vorliegende Arbeit wichtige Einsichten für den zweidimensionalen Fall: Hier läßt sich ein Winkel zwischen zeitartigen Vektoren durch die Lorentz-Transformation

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erklären, die die beiden Richtungen ineinander überführt. Der Satz von Gauß-Bonnet heißt dann: Sei M eine 2- dimensionale orientierte und zeitorientierte zusammenhängende Lorentz- Mannigfaltigkeit und \(D\subset M\) ein Gebiet mit kompaktem Abschluß, dessen Rand \(\Gamma\) eine einfache, geschlossene Kurve ist, die aus endlich vielen zeitartigen \(C^{\infty}\)-Teilkurven \(\Gamma_ i\), \(1\leq i\leq k\) besteht. Diese seien so orientiert, daß der Satz von Green \(\int_{\Gamma}\gamma =\iint_{D}d\gamma\) für alle 1-Formen \(\gamma\) gilt. \(\Gamma_ i\) möge im Punkt \(A_ i\) beginnen und dort die Tangente \(T_ i\) besitzen; im Endpunkt \(A_{i+1}\) sei die Tangente \(S_ i\) mit \(A_{k+1}:=A_ 1\) und \(T_{k+1}:=T_ 1\). Dann gilt für die geodätische Krümmung \(\kappa_ 1\), die Gaußsche Krümmung K und das Flächenelement dA: \[ \int_{\Gamma}\kappa_ g ds+\sum^{k}_{i=1}\sphericalangle (S_ i,T_{i+1})-\iint_{D}K dA=0\quad. \]

Reviewer: K.Buchner

MSC:

53C50

Global differential geometry of Lorentz manifolds, manifolds with indefinite metrics

Keywords:

Gauss-Bonnet formula; Lorentzian manifold; Gauß curvature; geodesic curvature