Sur la généralisation d’un théorème élémentaire de géométrie. (French) JFM 36.0601.02

Poincaré, H.

C. R. 140, 113-117 (1905).

Wird um einen Punkt \(O\) des \(n\)-dimensionalen Raumes \(R_n\) eine Hypersphäre \(H_{n-1}\) beschrieben, so wird diese durch \(n\) durch \(O\) gelegte lineare \(R_{n-1}\) (Hyperebenen), welche außer \(O\) keinen Punkt gemein haben, in \(2^n\) Gebiete eingeteilt, “hypersphärische \(n\)-eder”, denen ebensoviele “\(n\)-dimensionale Ecken” im Punkte \(O\) entsprechen. Die Größe einer solchen Ecke wird durch die des zugehörigen hypersphärischen \(n\)-eders angegeben, wenn die halbe Hypersphäre als Einheit angenommen ist. Von den \(2^n\) Ecken werde eine herausgegriffen und mit \(e_n\) bezeichnet; es werde ferner bei jedem der begrenzenden \(R_n\) die Seite, auf welcher \(e_n\) liegt, als die positive von der anderen, der negativen, unterschieden. Durch je zwei der \(R_{n-1}\) wird, wenn man nur immer die positive Seite ins Auge faßt, ein gewöhnlicher Winkel (\(=\) zweidimensionale Ecke) \(e_2\) bestimmt; allgemein bestimmen je \(k\) dieser \(R_{n-1}\) eine \(k\)-dimensionale Ecke \(e_k\), deren Größe ebenfalls durch das zugehörige Gebiet der Hypersphäre unter Zugrundelegung der halben Hypersphäre als Einheit bestimmt wird. Es bezeichne \(s_k\) die Summe der \(\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \) Ecken \(e_k\), welche zu \(e_n\) gehören, so daßalso \(s_n=e_n\). Im Falle \(n=3\) wird der Satz, daßder Inhalt des sphärischen Dreiecks durch seinen sphärischen Exzeßbestimmt ist, durch die Formel \(e_3=s_3= \frac 12 s_2 - \frac 12\) ausgedrückt. Allgemein gelten für beliebiges \(n\), wenn man noch \(s_0=2, s_1=n\) setzt, die Relationen \[ s_p= \sum_{q=0}^p (-1)^q \begin{pmatrix} n-q \\ n-p \end{pmatrix} s_q \quad (q=0, \dots, n). \] Von diesen sind jedoch diejenigen mit geradem \(p\) eine Folge derer mit ungeradem \(p\), und diese zeigen, daßdie \(s_p\) mit ungeradem \(p\) durch diejenigen mit geradem ausgedrückt werden können. Insbesondere erhält man für ungerades \(n\): \[ e_n =s_n =\tfrac 12 (s_0 - s_1 +s_2 -s_3 + \cdots +s_{n-1}), \] welche Formel die Verallgemeinerung des Satzes vom Inhalt des sphärischen Dreiecks für Räume ungerader Dimensionenzahl darstellt.
Um von der für das hypersphärische \(n\)-eder geltenden Formel zu einer solchen für das ebene zu gelangen, braucht man nur \(e_n\) unendlich klein anzunehmen. Man erhält dann für das im \((n-1)\)-dimensionalen Raume von \(n\) linearen \(R_{n-2}\) begrenzte Gebilde, falls \(n-1\) gerade ist, die Formel: \[ s_0-s_1+s_2-s_3+- \cdots +s_{n-1}=0. \] Sie besagt für \(n-1=2\), daßdie Winkelsumme im Dreieck zwei Rechte beträgt, und stellt also die Verallgemeinerung dieses Satzes für Räume gerader Dimensionenzahl dar.

Reviewer: Steinitz, Prof. (Berlin)

JFM Section:

Achter Abschnitt. Reine, elementare und synthetische Geometrie. Kapitel 5. Neuere synthetische Geometrie. D. Gebilde in Räumen von mehr als drei Dimensionen.