Sur l’indice des fractions rationnelles. (French) JFM 50.0067.02

Rábatel, A.

Nouv. Ann. (5) 2, 161-166 (1924).

Zu zwei gegebenen reellen Polynomen \(f(x)\), \(g(x)\) gehört nach einem Satz von Hurwitz (Math. Ann. 46, 273, 1895; F. d. M. 26, 119 (JFM 26.0119.*)) jeweilig eine gewisse quadratische Form \(H\), deren Signatur gleich dem Cauchyschen Index von \(\frac{f(x)}{g(x)}\) ist. Verf. gibt eine explizite Darstellung von \(H\), zeigt ihren Zusammenhang mit der Resultante von \(f, g\) und beweist den Hurwitzschen Satz direkt. Es sei zunächst \[ f(x)=A_0x^n+A_1x^{n-1}+\cdots+A_n,\;g(x)=B_0x^n+B_1x^{n- 1}+\cdots +B_n \] mit \(A_0 \neq 0,B_0 \neq 0\); man setze: \begin{align*} f_0&=A_0,\ f_1=A_0x+A_1,\ f_2=A_0x^2+A_1x+A_2,\ \dots, \\ g_0&=B_0,\ \dots; \end{align*} \begin{align*} F_1&=fg_0-gf_0=A_{11}x^{n-1}+A_{12}x^{n-2}+\cdots +A_{1n},\\ F_2&=fg_1-gf_1=A_{21}x^{n-1}+\cdots +A_{2n},\\ &\cdots\\ F_n&=fg_{n-1}-gf_{n-1}=A_{n1}x^{n-1}+\cdots +A_{nn}; \end{align*} dann ist \(A_{ik}=A_{ki}\), die Bezoutsche Resultante \[ B=\left| \begin{matrix} A_{11} \dots A_{1n} \\ \cdots \\ A_{n1} \dots A_{nn} \end{matrix}\right|, \] und die gesuchte, zu \(f, g\) gehörende quadratische Form \(H=\sum A_{ik}x_ix_k\). Alles weitere ergibt sich durch Verifikation; der Übergang zu \(B_0=\cdots=B_{p-1}=0\) erfolgt durch Kontinuitätsbetrachtungen.

Reviewer: Müntz, Prof. (Leningrad)

JFM Section:

Zweiter Abschnitt. Arithmetik und Algebra. Kapitel 4. Theorie der Formen, Determinanten. Invariantentheorie. Symmetrische Funktionen und Verwandtes. Bilineare und quadratische Formen. Lineare Substitutionen. Modulsysteme und Elimination.

Citations:

JFM 26.0119.*