Verf. führt den neuen geometrischen Begriff des Berührungsmaßes ein, das den Grad der Berührung von zwei sich in erster Ordnung berührenden Kurvenzweigen mißt. Es mögen zwei im Punkte \(P\) mündende und von diesem Punkt ab zu durchlaufende Jordanbögen \(C_1\), \(C_2\) sich dort berühren und die Krümmungen \(x_1\), \(x_2\) besitzen. \(|x_1-x_2|\) heißt das Berührungmaß \(\beta (C_1,C_2)\) von \(C_1\) und \(C_2\).
Es wird nun das Verhalten des Berührungsmaßes bei regulärer konformer Abbildung untersucht. Es gilt der folgende Satz:
Berühren sich in einem Punkte \(P\) zwei Jordanbögen mit dem Berührungsmaß \(\beta \), und unterwirf man die Umgebubg von \(P(z=z_0)\) einer konformen Abbildung \(w=f(z)\), die in \(P\) regulär ist, so berühren sich die Bildkurven in \(f(z_0)\) mit dem Berührungsmaß \(\frac {\beta }{|f'(z_0)|}\).
Die Änderung des Berührungsmaßes bei konformer Abbildung hängt also nur von der ersten Ableitung der Abbildungsfunktion ab.
Verf. stellt weiter einen Satz über das Verhalten des Berührungsmaßes bei Randabbildungen auf.
Es wird dann der Begriff des Berührungsmaßes auf Kreisbogendreiecke und -viercke angewandt. Dabei ergeben sich mehrere elegante Formeln.
In einem nullwinkligen Kreisbogendreieck mit den Spitzen auf einer Geraden genügen die drei Berührungsmaße \(\beta _0\), \(\beta _1\), \(\beta _2\) der Gleichung \[ \beta _0^2 + \beta _1^2 + \beta _2^2 - 2 (\beta _0 \beta _1 + \beta _1 \beta _2 + \beta _0 \beta _2) =0. \] Unter der Annahme \(\beta _0 \geq \beta _1\), \(\beta _0 \geq \beta _2\) folgt daraus leicht die Relation \(\sqrt {\beta _0} = \sqrt {\beta _1} + \sqrt {\beta _2}\).
Aus der obigen Gleichung leitet der Verf. eine Darstellung der Dreicke der Modulfigur mit Hilfe der Farey-Tripel her, die von G. Humbert (1916; F. d. M. 46, 272 (JFM 46.0272.*)) herrührt. (IV 6 D.)

Zur Messung des Grades der Berührung von zwei sich in erster Ordnung berührenden Kurvenzweige führt der Verf. den Begriff des Berührungsmaßes ein, der im wesentlichen die Differenz oder Summe der Krümmungen der berührenden Kurven angibt. Mit diesem Begriff wird u. a. eine Art Konformität bei Spitzenabbildungen bestätigt, ferner werden für die Berührungsmassen gewisser Kreisbogendreiecke und -vierecke einfache Relationen hergeleitet.