Die Verf. übergeben der Öffentlichkeit den ersten Band einer Darstellung der Topologie, die drei Bände umfassen soll. Im Gegensatz zu den bisherigen Büchern über Topologie, deren jedes nur einen Zweig dieser Wissenschaft zum Gegenstand hat, soll dieses Werk die Topologie als ein Ganzes behandeln, ohne die mengentheoretische oder die kombinatorische Seite zu bevorzugen. Die Verf. verzichten grundsätzlich auf die Trennung mengentheoretischer und kombinatorischer Methoden; vielmehr betrachten sie die Überwindung dieser Trennung als eine der wichtigsten methodischen Aufgaben, die vor der weiteren Entwicklung der Topologie stehen, und sie tragen zur Bewältigung dieser Aufgabe schon in dem vorliegenden ersten Bande wesentlich bei.
Um dem Leser die Vorstellung von der Topologie als von einem Ganzen zu vermitteln, wollen die Verf. hier zwar nicht die Topologie in dem gesamten gegenwärtigen Umfang des Wissens, aber alle diejenigen Zweige darstellen, die für jedes tiefere Eindringen in diese Disziplin unentbehrlich sind, die für die weitere Entwicklung maßgebend zu sein scheinen und die für die Anwendungen und die Beziehungen zur übrigen Mathematik von besonderer Wichtigkeit sind.
Als die Begriffe, die in dem heutigen Aufbau der Topologie eine zentrale Rolle spielen, heben die Verf. die Begriffe des topologischen Raumes, des Komplexes und der \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit hervor. Um diese Begriffe, ihre verschiedenen Sonderfälle, Verallgemeinerungen und Abwandlungen, konzentrieren sich die gegenwärtig aktuellen allgemeinen topologischen Theorien: die Homologietheorie der Polyeder und der kompakten Räume, die Theorie der \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die Theorie der stetigen Abbildungen von Polyedern und Mannigfaltigkeiten, die Dimensionstheorie, die abstrakte topologische Raumtheorie.
Den Hauptinhalt des ersten, L. E. J. Brouwer gewidmeten Bandes bildet die Theorie der \(n\)-dimensionalen allgemeinen Polyeder. Der Begriff des allgemeinen Polyeders, d. h. des Polyeders, das nicht notwendig eine Mannigfaltigkeit ist, steht in der Mitte zwischen dem der beliebigen Punktmenge und dem der Mannigfaltigkeit. Eine auf grundsätzliche und abschließende Erkenntnisse gerichtete topologische Forschung muß sich als Aufgabe setzen einerseits eine Theorie der Gestalt und Lage möglichst allgemeiner Punktmengen – die mindestens so allgemein sein müssen, daß sie die abgeschlossenen und beschränkten Punktmengen der euklidischen Räume mit einschließen –, anderseits eine Theorie der Mannigfaltigkeiten – also besonders einfacher Punktmengen, die aber noch so allgemein erklärt sein müssen, daß sie diejenigen Gebilde, über die man in den Anwendungen Aussagen machen möchte, umfassen. Wenn auch die Theorie der allgemeinen Polyeder auf Grund der Zwischenstellung dieses Begriffs nicht als endgültiges Ziel der Topologie angesehen werden kann, so haben die Verf. ihr dennoch in diesem Bande die beherrschende Stellung eingeräumt, weil fast alle materiellen Gegenstände des täglichen Lebens Polyeder, aber im allgemeinen nicht Mannigfaltigkeiten sind, und besonders aus dem folgenden methodisch-sachlichen Grunde:
Die Topologie der Polyeder bildet als Treffpunkt der algebraisch-kombinatorischen mit den mengentheoretischen Methoden eine notwendige, oder zumindest doch zweckmäßige, gemeinsame Grundlage für die Untersuchung sowohl der Mannigfaltigkeiten als auch allgemeiner Punktmengen. Die Homologietheorie der Polyeder bezeichen die Verf. geradezu als “elementare Topologie”. Von den drei Teilen der von Poincaré geschaffenen kombinatorischen Topologie, nämlich: (1) der Theorie der Zyklen und Berandungen in einer Mannigfaltigkeit, der sogenannten Homologietheorie, (2) der Theorie des Schnitts von zwei oder mehr Zyklen in einer Mannigfaltigkeit und (3) der Theorie der Fundamentalgruppe, ist der erste der weitaus einfachste, weil die Homologietheorie sich nur auf den vorgelegten Komplex der Mannigfaltigkeit selbst bezieht, und weil ihr algebraischer Inhalt in der von Emmy Noether herrührenden gruppentheoretischen Auffassung aus Sätzen über kommutative Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden – also Gruppen, die man vollständig beherrscht – besteht, während die Theorie der Fundamentalgruppe auf unendliche, nicht kommutative Gruppen und damit auf größtenteils noch nicht überwundene gruppentheoretische Schwierigkeiten führt, und während die Schnitteigenschaften sich nicht an einem Komplex der Mannigfaltigkeit, sondern erst nach Heranziehung der zu der gegebenen dualen Zellenzerlegung äußern. Die Homologietheorie ist also als der elementare Teil der kombinatorischen Topologie anzusehen, und ihre Gültigkeit ist überdies nicht auf Zellenzerlegungen von Mannigfaltigkeiten beschränkt, sondern erstreckt sich ohne Änderung auf die von beliebigen Polyedern. Die Bedeutung der Homologietheorie der Polyeder erhöht sich aber noch dadurch, daß ihre Methoden mehr und mehr auch Probleme der mengentheoretischen Topologie beherrschen. Indem die Verf. diese Theorie in den Mittelpunkt des ganzen ersten Bandes rücken, leisten sie zur Verwirklichung des am Anfang genannten Ziels, der Überbrückung der Kluft zwischen mengentheoretischen und kombinatorischen Methoden, schon in der Anlage der Darstellung einen wesentlichen Beitrag und verleihen ihr überdies einen hohen Grad von Ursprünglichkeit und Eigenart.
Was nun im einzelnen den Inhalt des Bandes betrifft, so enthält er, wie ja bei den bekannten eigenen schöpferischen Leistungen der Verf. auf dem Gebiete der Topologie zu erwarten, eine Fülle von schönen und neuen Dingen, die sich in dem engen Rahmen einer Besprechung unmöglich wiedergeben lassen.
Schon die Lektüre der Einleitung bietet einen großen Genuß. Die Verf. geben hier einen Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Topologie in ihren Hauptzügen, darauf einen ganz kurzen Abriß über einige Gebiete, die in dem Gesamtwerk beiseite gelassen werden sollen: Streckenkomplexe, Knotenproblem, Klassifikation der geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, Theorie der Primenden, Umkehrung des Jordanschen Satzes, Theorie der irreduziblen Kontinuen, und schließlich einige Bemerkungen über die Beziehungen der Topologie zu andern Zweigen der Mathematik.
Die eigentliche Darstellung zerfällt in vier Hauptteile. Im ersten Teil “Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie” wird eine zusammenhängende Darstellung der Anfangsgründe der allgemeinen mengentheoretischen Topologie gegeben. Die Verf. tragen dabei dem Umstande Rechnung, daß man gewissen von diesen Grundtatsachen in vielen Zweigen der Mathematik begegnet, und daß manches davon bei dem Aufbau der Polyedertheorie gebraucht wird. Gleichzeitig wird hier der Grund für die Untersuchungen des zweiten Bandes des Gesamtwerks gelegt, der in der Hauptsache die allgemeine Theorie der abstrakten Räume behandeln wird. Der erste Teil umfaßt zwei Kapitel.
Kap. I. Topologische und metrische Räume: Die topologische Zuordnung und ihre verschiedenen Erzeugungsarten. Topologische Räume. Stetige Abbildungen topologischer Räume. Trennungsaxiome: \(T_0\)- und \(T_1\)-Räume. Zerlegungen von \(T_1\)-Räumen in disjunkte abgeschlossene Mengen, Beziehungen zu stetigen Abbildungen, Zerlegungsräume. Trennungsaxiome: Hausdorffsche, reguläre und normale Räume. Räume mit abzählbarer Basis. Der Urysohnsche Einbettungssatz.
Kap. II. Kompakte Räume: Kompakte und bikompakte topologische und metrische Räume. Stetige Abbildungen und Zerlegungen bikompakter Räume. Spezialfall der Kompakten. Kompaktheit und Vollständigkeit. Konvergenz von Mengenfolgen. Zusammenhangsverhältnisse in Kompakten. Die Kompakten als stetige Bilder des Cantorschen Diskontinuums. Anhang: Brouwerscher Reduktionssatz, Irreduzible Kontinuen.
Der zweite Teil “Topologie der Komplexe” besteht in einer Darstellung der kombinatorischen Topologie, und zwar ihres “elementaren” Teils, d. h. der für beliebige Polyeder gültigen Homologietheorie. Zunächst wird die elementargeometrische Seite der Lehre von den Zellenzerlegungen der Polyeder entwickelt, die bei den eigentlichen topologischen Untersuchungen stets gebraucht wird. Die Darstellung schließt an die im Anhang II vorgetragene Geometrie des \(R_n\) an, geht aber insofern wesentlich über ihn hinaus, als dort lediglich elementare und analytische Geometrie getrieben wird, während hier der ausschließlich der Topologie angehörende Begriff des Komplexes an die Spitze gestellt wird. Durch abstrakte Auffassung des Komplexbegriffs gelangt man darauf zu den Begriffen des Eckpunktbereiches und des Gerüsts sowie zur Vorbereitung auf die gruppentheoretischen Betrachtungen zum Begriff des Koeffizientenbereichs, indem man einem Eckpunktbereich eine abelsche Gruppe zuordnet. Damit ist der Weg für wichtige topologische Untersuchungen gebahnt worden: Simpliziale Abbildungen, Homologie, Bettische Gruppen, Komplexzerspaltungen und -unterteilungen. Das letzte Kapitel dieses Teils behandelt Dinge, die nur für speziellere Untersuchungen von Bedeutung sind. Der Teil umfaßt die Kap. III-VII.
Kap. III. Polyeder und ihre Zerlegungen: Zellenkomplexe. Unterteilungen von Zellenkomplexen. Zellensysteme und Komplexe, Offene Teilmengen von Polyedern. Baryzentrische Überdeckungen, krumme Polyeder, Übergang zum abstrakten Standpunkt.
Kap. IV. Eckpunkt- und Koeffizientenbereiche: Eckpunktbereiche, Absolute Komplexe. Orientierung, algebraische Komplexe, Randbildung. Simpliziale Abbildungen. Zyklen, Homologie. Zusammenhangsbegriffe. Spezielle Komplexe.
Kap. V. Bettische Gruppen: Allgemeine Eigenschaften. Die ganzzahligen und die rationalen Bettischen Gruppen. Die Bettischen Gruppen modulo \(m\). Zyklen erster und zweiter Art (bei beliebigem Koeffizientenbereich). Die Beziehungen zwischen den Bettischen Gruppen der verschiedenen Koeffizientenbereiche.
Kap. VI. Zerspaltungen und Unterteilungen von Komplexen: Zellenzerspaltung absoluter Komplexe. Unterteilung euklidischer Komplexe.
Kap. VII. Spezielle Fragen aus der Theorie der Komplexe: Geschlossene und irreduzibel geschlossene Komplexe. Additionssätze. Produktkomplexe.
Ein Anhang zu den Kap. IV, V, VI gibt Ergänzungen, Beispiele und Aufgaben.
Der dritte Teil “Topologische Invarianzsätze und anschließende Begriffsbildungen” bringt Sätze über topologische Invarianten. Man unterscheidet – entsprechend der Unterscheidung zwischen “Gestalt” und “Lage” einer Punktmenge – “innere” und “äußere” topologische Invarianten. Für einen Invarianzbeweis bieten sich zwei Hauptmethoden dar, die die Verf. als “Methode der topologisch invarianten Charakterisierung”, bei der die fragliche Eigenschaft eines Raumes (oder Komplexes) als äquivalent mit einer andern, topologisch invariant erklärten Eigenschaft desselben Raumes (oder Komplexes) nachgewiesen wird, und “als Abbildungsmethode”, deren Wesen wohl durch die Benennung bereits hinreichend geklärt wird, bezeichnen. Die Verf. geben der ersten Methode den Vorzug, weil sie die Übertragung von Begriffen der kombinatorischen Topologie auf allgemeinere Räume zuläßt. Da den Verf. nicht nur um eine Sammlung von Sätzen, sondern auch um einen Einblick in die Methoden zu tun ist, so leiten sie manche Invarianzsätze nach beiden Methoden her. In Kap. VIII werden die Beweise nach der Abbildungsmethode, in Kap. IX und X durch invariante Charakterisierung erbracht. An inneren Invarianzeigenschaften – sie beziehen sich sämtlich auf Komplexe – werden behandelt: die Dimensionenzahl, die Struktur der Bettischen Gruppen und gewisse Zusammenhangseigenschaften. An äußeren Invarianzsätzen werden bewiesen: die Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes, nämlich die Invarianz der Anzahl der Gebiete, in die der \(R^n\) durch ein Kompaktum zerlegt wird, sowie der Satz von der Gebietsinvarianz. Im vierten Teil wird unter anderem der Alexandersche Dualitätssatz hergeleitet, der eine weitere wichtige äußere Invarianzaussage darstellt. In einem Anhang zu Kap. IX werden elementare, d. h. keine Tatsachen aus der allgemeinen Theorie benutzende, Beweise des Pflastersatzes und des Fixpunktsatzes für das Simplex vorgetragen, und zwar unter Zugrundelegung eines Satzes von Sperner (Abhandl. Hamburg 6 (1928), 265-272; F. d. M. 54, 614 (JFM 54.0614.*)) im Anschluß an die Darstellung in einer Arbeit von Knaster, Kuratowski und Mazurkiewicz (Fundamenta Math. 14 (1929), 132-137; JFM 55.0972.*).
Kap. VIII. Simpliziale Approximationen stetiger Abbildungen. Stetige Zyklen: Simpliziale Abbildungen von Unterteilungen eines Komplexes. Der Approximationssatz. Homotopie- und Homologietypen stetiger Abbildungen. Topologische Abbildungen; Invarianzsätze. Stetige komplexe und Zyklen. Die Retrakteigenschaft krummer Polyeder, Anwendungen auf Homologien stetiger Zyklen.
Kap. IX. Kanonische Verschiebungen. Nochmals Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. Allgemeiner Dimensionsbegriff: Erhaltungs- und Überführungssätze für das Polyeder. Allgemeine kanonische Verschiebungen, der Pflastersatz, Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. Der allgemeine Dimensionsbegriff. Anhang: Elementare Beweise des Fixpunktsatzes für das Simplex und des Pflastersatzes.
Kap. X. Der Zerlegungssatz für den Euklidischen Raum. Weitere Invarianzsätze: Der Zerlegungssatz. Gebietsgrenzen, der Jordan-Brouwersche Satz, Gebietsinvarianz. Weitere Anwendungen und Invarianzsätze. Anhang: Raumzerlegung und wesentliche Abbildung.
Die in Kap. VIII und IX bewiesenen Invarianzsätze lassen die Übertragung der Begriffe und Methoden aus der Topologie der Komplexe auf beliebige Polyeder zu und bilden somit den Anfang einer Topologie der Polyeder. Diese wird im vierten Teil “Verschlingungen im Euklidischen Raum, Stetige Abbildungen von Polyedern”, soweit sie Homologieeigenschaften zum Gegenstand hat und nicht insbesondere nur Mannigfaltigkeiten betrifft, weiter ausgebaut. Den Ausgangspunkt bildet die Einführung des wichtigen Begriffs der “Verschlingungszahl”. Dieser war im Sonderfall zweier geschlossener Kurven des \(R^3\) bekanntlich bereits Gauß bekannt und ist, nachdem Lebesgue den Zusammenhang zwischen den Begriffen “Verschlingung” und “Zerlegung” aufgedeckt hatte, in voller Allgemeinheit und Schärfe von Brouwer aufgestellt worden. An den Begriff der Verschlingungszahl schließt hier nun an einerseits die höhere Verschlingungstheorie des euklidischen Raumes, die in dem Alexanderschen Dualitätssatz gipfelt, anderseits die Theorie des Brouwerschen Abbildungsgrades. Im letzten Kapitel werden Fixpunktsätze bewiesen, und zwar elementare, d. h. solche, die Homologieeigenschaften sind und für beliebige Polyeder gelten. Die auf dem Homotopiebegriff der Fundamentalgruppe beruhende Nielsensche und die nur für Mannigfaltigkeiten gültige Lefschetzsche Fixpunkttheorie werden daher hier nicht gebracht, sondern auf den dritten Band verschoben. Als Anwendung werden im letzten Paragraphen Richtungsfelder in geschlossenen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besprochen.
Kap. XI. Verschlingungstheorie, Der Alexandersche Dualitätssatz: Schnitt- und Verschlingungszahlen im \(R^n\). Verschlingungen stetiger Zyklen. Die Existenzsätze der Verschlingungstheorie. Der Alexandersche Dualitätssatz. Anhang: Der Lebesgue-Alexandersche Beweis des speziellen Jordan-Brouwerschen Satzes.
Kap. XII. Der Brouwersche Abbildungsgrad, Die Kroneckersche Charakteristik: Die Ordnung eines Punktes in bezug auf einen Zyklus. Die Kroneckersche Charakteristik, der lokale Grad von Abbildungen in den \(R^n\). Spezielle Sätze und Anwendungen. Der Grad von Abbildungen in ein Polyeder. Anhang: Die Brouwersche Deutung der Verschlingungszahl als Charakteristik, Das Gaußsche Integral.
Kap. XIII. Homotopie- und Erweiterungssätze für Abbildungen: Die Umkehrung des Kroneckerschen Existenzsatzes. Die Abbildungen \(n\)-dimensionaler Polyeder in die \(n\)-dimensionale Sphäre. Die Abbildungen \(n\)-dimensionaler Polyeder in die Kreislinie. Die Charakterisierung der Geschlossenheit und des Randes von Polyedern durch Deformationseigenschaften. Anhang: Abbildungen, die einander zwar vollständig homolog, aber nicht homotop sind.
Kap. XIV. Fixpunkte: Ein Existenzsatz für Fixpunkte. Der Index eines Fixpunktes. Die algebraische Anzahl der Fixpunkte einer stetigen Abbildung eines Polyeders in sich. Richtungsfelder in geschlossenen Mannigfaltigkeiten.
In zwei Anhängen werden die Hilfsmittel aus der Algebra, insbesondere die Theorie der abelschen Gruppen, und aus der Geometrie, die Elementargeometrie des \(R^n\) und seiner konvexen Zeilen, entwickelt. Vorkenntnisse werden somit beim Leser nicht vorausgesetzt. Dagegen erfordert die Lektüre des Werkes, das weder ein Lehrbuch noch ein Handbuch im üblichen Sinne ist, eine große Übung in der Verfolgung und Durcharbeitung abstrakter mathematischer Gedankengänge; denn die Verf. haben, wo es notwendig ist, Allgemeinheit und Abstraktion in der Begriffsbildung nicht gescheut. Die Darstellung ist jedoch durchweg klar, wenn auch meistens gedrängt und stets frei von Weitschweifigkeit. Die Übersicht wird außerordentlich erleichtert durch die kurzen Einleitungen, die jedem Hauptteil, und durch die ausführlichen Inhaltsangaben, die jedem Kapital vorausgeschickt werden. Mögen die beiden weiteren Bände des Werkes recht bald folgen und die hier begonnene Darstellung der Topologie als eines Ganzen zum Abschluß bringen!

„Die Verff. haben sich die Aufgabe gestellt, in lückenloser Darstellung, ohne die Allgemeinheit und Abstraktion der Begriffsbildung zu scheuen, die grundlegenden Resultate einer erfolgreichen Periode in der Entwicklung der Topologie – einer Periode, die mit Poincaré beginnt und in den Arbeiten von Brouwer, Alexander u. a. zur vollen Geltung gekommen ist, zusammenzufassen.“Das Ziel des Werkes ist nicht eine „Darstellung der ganzen Topologie“, sondern die „Vorstellung der Topologie als eines Ganzen“ zu geben (aus dem Vorwort). Dieser synthetische Standpunkt, im Gegensatz zu dem früher üblichen Unterscheiden zwischen der kombinatorischen und der mengentheoretischen Topologie, ist einer der charakteristischen Züge des Buches, der von Topologen beider Richtungen zweifellos mit Anerkennung begrüßt wird: es handelt sich ja um Aufstellung einer einheitlichen Theorie, welche die bisherigen Ergebnisse zweier so entfernt liegender Gebiete der Mathematik, wie die Punktmengenlehre und die algebraische (gruppentheoretische) Theorie der Komplexe, in sich vereinigt. Zur Verwirklichung dieses Zieles sind beide Verff., denen die genannten Gebiete zahlreiche grundlegende Ergebnisse verdanken, ganz besonders geeignet.
Der Hauptinhalt dieses ersten von den drei Bänden, aus welchen das Werk bestehen soll, ist – laut Angabe der Verff. – die Topologie der \(n\)-dimensionalen allgemeinen Polyeder. Anwendungen auf allgemeine topologische Räume werden nur gelegentlich angegeben (systematische Anwendungen finden voraussichtlich im Bd. II, bei Betrachtung kompakter Räume, ihren Platz, während andererseits eine ausführliche Untersuchung spezieller Polyeder, namentlich der Mannigfaltigkeiten, für Bd. III vorbehalten ist).
Nach einem kurzen, über Entstehung und Ziel des Werkes berichtenden Vorwort folgt die eigentliche Einleitung, in welcher die Hauptlinien der Entwicklung und des gegenwärtigen Zustandes der Topologie sowie ihre Zusammenhänge mit anderen Zweigen der Mathematik näher besprochen werden.
Der Band zerfällt in vier Teile. Der erste Teil hat die Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie zum Gegenstand. Obwohl die mengentheoretischen Betrachtungen in diesem Bande bloß eine Hilfsrolle spielen, ist der genannte Teil nicht vom Standpunkt unmittelbarer Anwendungen auf die Polyedertopologie, sondern vielmehr als eine planmäßige, wenn auch beschränkte Darstellung der Theorie topologischer (d. h. auf der Bildung der abgeschlossenen Hülle \(\overline{A}\) als dem Grundbegriffe gestützter), metrischer und kompakter Räume bearbeitet worden. Der zweite Teil ist den Grundlagen der kombinatorischen Topologie (Topologie der Komplexe) gewidmet. Sein Anfangskapitel handelt von Polyedern und ihren Zellenzerlegungen und bezieht sich auf den (\(n\)-dimensionalen) Euklidischen Raum: Zellen sind gewisse Punktmengen dieses Raumes und Zellenkomplexe gewisse Mengen von Zellen (also Mengen von Punktmengen). Dagegen haben weitere Kapitel dieses Teiles bereits einen durchaus abstrakten Charakter: Eckpunktbereiche sind Mengen von ganz beliebigen Elementen, Simplex ist eine endliche Menge von Eckpunkten; absoluter Komplex heißt eine (gewissen Bedingungen genügende) Menge von Simplexen und algebraischer Komplex wird als eine in bezug auf orientierte Simplexe lineare Form, mit einer abelschen Gruppe als Koeffizientenbereich, erklärt. Für die so definierten Begriffe werden diejenigen von Rand, Zykel, Homologie (in bezug auf einen doppelten Koeffizientenbereich den einen für berandende Zykeln und den zweiten für berandete Komplexe), Zusammenhang usw. eingeführt, ferner Bettische Gruppe in bezug auf verschiedenartige Koeffizientenbereiche (mit Untersuchung ihrer wechselseitigen Beziehungen), Bettische Zahlen (nebst Additions- und Produktsätzen), kombinatorische Zellen (in Anlehnung an den Begriff der Zellenzerspaltung), Torsion (übrigens ohne Gebrauch von Matrizen für Torsionskoeffizienten) u. a.
In den beiden letzten Teilen des Bandes kehren Verff. zum Euklidischen Raum zurück, um nun den so aufgebauten abstrakt-algebraischen Apparat auf ihn anzuwenden. Das Vorgehen erfolgt also nach dem von Verff. formulierten Programm: “Wir entnehmen die Grundbegriffe …dem konkreten und am Zufälligen haftenden Material der Polyeder, lassen sie dann die läuternde Wirkung der stärksten Abstraktion erfahren, um ein Werkzeug zu erhalten, welches nachher wiederum auf die konkrete geometrische Wirklichkeit – im allgemeinen wie im speziellen – angewendet werden soll” (S. S4). So beginnt der dritte Teil mit dem Kapitel über simpliziale Abbildungen, Approximationen beliebiger stetiger Abbildungen durch dieselben, Invarianz der Dimensionszahl, Theorie stetiger Komplexe, Borsukscher Begriff des Retraktes. Das zweite Kapitel betrifft kanonische Verschiebungen, einen mit dem bekannten Überführungssatz von Alexandroff eng verbundenen Begriff. Dieser Satz über Abbildungen von Kompakta in „Nerven“ ihrer Zerlegungen erlaubt die kombinatorischen Methoden auf die Theorie kompakter Räume anzuwenden, was bereits in diesem und dem danach folgenden Kapitel zum Ausdruck kommt. Die beiden Kapitel gehören vollständig zu der „einheitlichen“ Topologie: keine Trennung – etwa in mengentheoretische und kombinatorische Sätze – wäre hier möglich. Bettische Zahlen von Nerven eines gegebenen Kompaktums \(K\) erlauben sog. Bettische \(N\)–Zahlen von \(K\) zu definieren. Insbesondere ist die \((n-1)\)-te Bettische \(N\)-Zahl einer kompakten Teilmenge \(K\) des \(n\)-dimensionalen Euklidischen Raumes \(\mathbb{R}^n\) von Bedeutung: Auf Grund des Zerlegungssatzes unterscheidet sich nämlich diese Zahl um 1 von der Anzahl der Komponenten von \(\mathbb{R}^n\setminus K\), was (selbst die quantitative) Invarianz des Schnittes, Jordan–Brouwerschen Satz, Gebietsinvarianz sowie eine Reihe von Sätzen über irreduzible Schnitte, Cantorsche Mannigfaltigkeiten usw. ergibt. Außerdem enthalt dieser Teil des Bandes direkte Invarianzbeweise für Dimensionszahlen und Gebiete sowie Beweise für Invarianz der Bettischen Gruppen und für Äquivalenz zwischen Zerschneidung von \(\mathbb{R}^n\) und Existenz von sog. wesentlichen Abbildungen auf die Sphäre \(S^{n-1}\). Alle diese Invarianzsätze „ermöglichen die Übertragung der Begriffe und Methoden aus der Topologie der Komplexe auf Polyeder; sie sind somit das Fundament der Topologie der Polyeder“ (S. 409).
Der vierte Teil beginnt mit dem Kapitel über Verschlingungstheorie (Schnittzahlen, Verschlingungszahlen, Existenz von verschlungenen Zykeln in bezug auf verschiedene Koeffizientenbereiche). Auf Grund dieser Theorie wird der „nach heutigem Zustand unserer Kenntnisse umfassendste aller Sätze über die topologische Lage von krummen Polyedern im \(\mathbb{R}^n\)“, namentlich der Alexandersche Dualitätssatz, bewiesen. Das zweite Kapitel handelt über Brouwerschen Abbildungsgrad und Kroneckersche Charakteristik. Der erste dieser Begriffe wird an Verschlingungszahl von Zykel mit Punkt und seine Theorie auf Verschlingungstheorie gestützt. Unter den zahlreichen Anwendungen dieses Begriffes sind insbesondere die Anwendungen auf Vektorfelder, Fixpunktsätze und antipodentreue sowie wesentliche Abbildungen zu erwähnen. Im darauffolgenden Kapitel über Homotopie von Abbildungen werden Sätze angegeben, die aus den Homologieeigenschaften von Abbildungen ihre Homotopieeigenschaften herzuleiten erlauben, z. B. der bekannte Satz von Hopf über Abbildungen von Polyedern in Sphären. Es werden ferner Homotopieeigenschaften von Abbildungen auf Kreislinie (im Zusammenhang mit dem Verschwinden der ersten Bettischen Zahl) sowie die Charakterisierung der Geschlossenheit und des Randes von Polyedern durch Deformationseigenschaften eingehend betrachtet. Das letzte (XIV.) Kapitel ist den mit Homologieeigenschaften verknüpften Fixpunktsätzen gewidmet. Mit Hilfe des Begriffes von Spuren der Autohomomorphismen definieren Verff. die „Lefschetzsche Zahl einer Abbildung“ und gelangen zur Hopfschen Verallgemeinerung der Euler–Poincaréschen Formel und deren zahlreichen Anwendungen. Weitere Sätze betreffen den Index von Fixpunkten, die regulären Fixpunkte, ihre algebraische Anzahl und die Richtungsfelder in geschlossenen Mannigfaltigkeiten.
Zwei Anhänge über Abelsche Gruppen und konvexe Zellen im \(\mathbb{R}^n\) schließen den Band ab.
Durch präzise Formulierung der Definitionen und Einfachheit der Beweise entspricht das Buch sämtlichen Anforderungen an logische Strenge, aber zugleich an geometrische Anschaulichkeit, dank vielen lehrreichen Bemerkungen, meisterhaft gewählten Beispielen und sorgfältigen Bildern. Allgemeinheit der Fassung und Vollständigkeit der Darstellung (die sich bis auf neueste, teilweise sogar noch unveröffentlichte Ergebnisse erstreckt) verleihen dem Buche nicht nur den Wert eines ausgezeichneten Lehrbuches über den gegenwärtigen Zustand der betrachteten Teile der Topologie, sondern auch die Bedeutung eines für weitere Untersuchungen aussichtsvollen Ausgangspunktes.