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Topologie. Bd. I: Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie. Topologie der Komplexe. Topologische Invarianzsätze und anschließende Begriffsbildungen. Verschlingungen im \(n\)-dimensionalen euklidischen Raum. Stetige Abbildungen von Polyedern. (German) JFM 61.0602.07
XIV + 636 S. 39 Fig. Berlin, J. Springer (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen, Bd. 44) (1935).
Die Verf. übergeben der Öffentlichkeit den ersten Band einer Darstellung der Topologie, die drei Bände umfassen soll. Im Gegensatz zu den bisherigen Büchern über Topologie, deren jedes nur einen Zweig dieser Wissenschaft zum Gegenstand hat, soll dieses Werk die Topologie als ein Ganzes behandeln, ohne die mengentheoretische oder die kombinatorische Seite zu bevorzugen. Die Verf. verzichten grundsätzlich auf die Trennung mengentheoretischer und kombinatorischer Methoden; vielmehr betrachten sie die Überwindung dieser Trennung als eine der wichtigsten methodischen Aufgaben, die vor der weiteren Entwicklung der Topologie stehen, und sie tragen zur Bewältigung dieser Aufgabe schon in dem vorliegenden ersten Bande wesentlich bei.
Um dem Leser die Vorstellung von der Topologie als von einem Ganzen zu vermitteln, wollen die Verf. hier zwar nicht die Topologie in dem gesamten gegenwärtigen Umfang des Wissens, aber alle diejenigen Zweige darstellen, die für jedes tiefere Eindringen in diese Disziplin unentbehrlich sind, die für die weitere Entwicklung maßgebend zu sein scheinen und die für die Anwendungen und die Beziehungen zur übrigen Mathematik von besonderer Wichtigkeit sind.
Als die Begriffe, die in dem heutigen Aufbau der Topologie eine zentrale Rolle spielen, heben die Verf. die Begriffe des topologischen Raumes, des Komplexes und der \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit hervor. Um diese Begriffe, ihre verschiedenen Sonderfälle, Verallgemeinerungen und Abwandlungen, konzentrieren sich die gegenwärtig aktuellen allgemeinen topologischen Theorien: die Homologietheorie der Polyeder und der kompakten Räume, die Theorie der \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten, die Theorie der stetigen Abbildungen von Polyedern und Mannigfaltigkeiten, die Dimensionstheorie, die abstrakte topologische Raumtheorie.
Den Hauptinhalt des ersten, L. E. J. Brouwer gewidmeten Bandes bildet die Theorie der \(n\)-dimensionalen allgemeinen Polyeder. Der Begriff des allgemeinen Polyeders, d. h. des Polyeders, das nicht notwendig eine Mannigfaltigkeit ist, steht in der Mitte zwischen dem der beliebigen Punktmenge und dem der Mannigfaltigkeit. Eine auf grundsätzliche und abschließende Erkenntnisse gerichtete topologische Forschung muß sich als Aufgabe setzen einerseits eine Theorie der Gestalt und Lage möglichst allgemeiner Punktmengen – die mindestens so allgemein sein müssen, daß sie die abgeschlossenen und beschränkten Punktmengen der euklidischen Räume mit einschließen –, anderseits eine Theorie der Mannigfaltigkeiten – also besonders einfacher Punktmengen, die aber noch so allgemein erklärt sein müssen, daß sie diejenigen Gebilde, über die man in den Anwendungen Aussagen machen möchte, umfassen. Wenn auch die Theorie der allgemeinen Polyeder auf Grund der Zwischenstellung dieses Begriffs nicht als endgültiges Ziel der Topologie angesehen werden kann, so haben die Verf. ihr dennoch in diesem Bande die beherrschende Stellung eingeräumt, weil fast alle materiellen Gegenstände des täglichen Lebens Polyeder, aber im allgemeinen nicht Mannigfaltigkeiten sind, und besonders aus dem folgenden methodisch-sachlichen Grunde:
Die Topologie der Polyeder bildet als Treffpunkt der algebraisch-kombinatorischen mit den mengentheoretischen Methoden eine notwendige, oder zumindest doch zweckmäßige, gemeinsame Grundlage für die Untersuchung sowohl der Mannigfaltigkeiten als auch allgemeiner Punktmengen. Die Homologietheorie der Polyeder bezeichen die Verf. geradezu als “elementare Topologie”. Von den drei Teilen der von Poincaré geschaffenen kombinatorischen Topologie, nämlich: (1) der Theorie der Zyklen und Berandungen in einer Mannigfaltigkeit, der sogenannten Homologietheorie, (2) der Theorie des Schnitts von zwei oder mehr Zyklen in einer Mannigfaltigkeit und (3) der Theorie der Fundamentalgruppe, ist der erste der weitaus einfachste, weil die Homologietheorie sich nur auf den vorgelegten Komplex der Mannigfaltigkeit selbst bezieht, und weil ihr algebraischer Inhalt in der von Emmy Noether herrührenden gruppentheoretischen Auffassung aus Sätzen über kommutative Gruppen mit endlich vielen Erzeugenden – also Gruppen, die man vollständig beherrscht – besteht, während die Theorie der Fundamentalgruppe auf unendliche, nicht kommutative Gruppen und damit auf größtenteils noch nicht überwundene gruppentheoretische Schwierigkeiten führt, und während die Schnitteigenschaften sich nicht an einem Komplex der Mannigfaltigkeit, sondern erst nach Heranziehung der zu der gegebenen dualen Zellenzerlegung äußern. Die Homologietheorie ist also als der elementare Teil der kombinatorischen Topologie anzusehen, und ihre Gültigkeit ist überdies nicht auf Zellenzerlegungen von Mannigfaltigkeiten beschränkt, sondern erstreckt sich ohne Änderung auf die von beliebigen Polyedern. Die Bedeutung der Homologietheorie der Polyeder erhöht sich aber noch dadurch, daß ihre Methoden mehr und mehr auch Probleme der mengentheoretischen Topologie beherrschen. Indem die Verf. diese Theorie in den Mittelpunkt des ganzen ersten Bandes rücken, leisten sie zur Verwirklichung des am Anfang genannten Ziels, der Überbrückung der Kluft zwischen mengentheoretischen und kombinatorischen Methoden, schon in der Anlage der Darstellung einen wesentlichen Beitrag und verleihen ihr überdies einen hohen Grad von Ursprünglichkeit und Eigenart.
Was nun im einzelnen den Inhalt des Bandes betrifft, so enthält er, wie ja bei den bekannten eigenen schöpferischen Leistungen der Verf. auf dem Gebiete der Topologie zu erwarten, eine Fülle von schönen und neuen Dingen, die sich in dem engen Rahmen einer Besprechung unmöglich wiedergeben lassen.
Schon die Lektüre der Einleitung bietet einen großen Genuß. Die Verf. geben hier einen Überblick über die geschichtliche Entwicklung der Topologie in ihren Hauptzügen, darauf einen ganz kurzen Abriß über einige Gebiete, die in dem Gesamtwerk beiseite gelassen werden sollen: Streckenkomplexe, Knotenproblem, Klassifikation der geschlossenen dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, Theorie der Primenden, Umkehrung des Jordanschen Satzes, Theorie der irreduziblen Kontinuen, und schließlich einige Bemerkungen über die Beziehungen der Topologie zu andern Zweigen der Mathematik.
Die eigentliche Darstellung zerfällt in vier Hauptteile. Im ersten Teil “Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie” wird eine zusammenhängende Darstellung der Anfangsgründe der allgemeinen mengentheoretischen Topologie gegeben. Die Verf. tragen dabei dem Umstande Rechnung, daß man gewissen von diesen Grundtatsachen in vielen Zweigen der Mathematik begegnet, und daß manches davon bei dem Aufbau der Polyedertheorie gebraucht wird. Gleichzeitig wird hier der Grund für die Untersuchungen des zweiten Bandes des Gesamtwerks gelegt, der in der Hauptsache die allgemeine Theorie der abstrakten Räume behandeln wird. Der erste Teil umfaßt zwei Kapitel.
Kap. I. Topologische und metrische Räume: Die topologische Zuordnung und ihre verschiedenen Erzeugungsarten. Topologische Räume. Stetige Abbildungen topologischer Räume. Trennungsaxiome: \(T_0\)- und \(T_1\)-Räume. Zerlegungen von \(T_1\)-Räumen in disjunkte abgeschlossene Mengen, Beziehungen zu stetigen Abbildungen, Zerlegungsräume. Trennungsaxiome: Hausdorffsche, reguläre und normale Räume. Räume mit abzählbarer Basis. Der Urysohnsche Einbettungssatz.
Kap. II. Kompakte Räume: Kompakte und bikompakte topologische und metrische Räume. Stetige Abbildungen und Zerlegungen bikompakter Räume. Spezialfall der Kompakten. Kompaktheit und Vollständigkeit. Konvergenz von Mengenfolgen. Zusammenhangsverhältnisse in Kompakten. Die Kompakten als stetige Bilder des Cantorschen Diskontinuums. Anhang: Brouwerscher Reduktionssatz, Irreduzible Kontinuen.
Der zweite Teil “Topologie der Komplexe” besteht in einer Darstellung der kombinatorischen Topologie, und zwar ihres “elementaren” Teils, d. h. der für beliebige Polyeder gültigen Homologietheorie. Zunächst wird die elementargeometrische Seite der Lehre von den Zellenzerlegungen der Polyeder entwickelt, die bei den eigentlichen topologischen Untersuchungen stets gebraucht wird. Die Darstellung schließt an die im Anhang II vorgetragene Geometrie des \(R_n\) an, geht aber insofern wesentlich über ihn hinaus, als dort lediglich elementare und analytische Geometrie getrieben wird, während hier der ausschließlich der Topologie angehörende Begriff des Komplexes an die Spitze gestellt wird. Durch abstrakte Auffassung des Komplexbegriffs gelangt man darauf zu den Begriffen des Eckpunktbereiches und des Gerüsts sowie zur Vorbereitung auf die gruppentheoretischen Betrachtungen zum Begriff des Koeffizientenbereichs, indem man einem Eckpunktbereich eine abelsche Gruppe zuordnet. Damit ist der Weg für wichtige topologische Untersuchungen gebahnt worden: Simpliziale Abbildungen, Homologie, Bettische Gruppen, Komplexzerspaltungen und -unterteilungen. Das letzte Kapitel dieses Teils behandelt Dinge, die nur für speziellere Untersuchungen von Bedeutung sind. Der Teil umfaßt die Kap. III-VII.
Kap. III. Polyeder und ihre Zerlegungen: Zellenkomplexe. Unterteilungen von Zellenkomplexen. Zellensysteme und Komplexe, Offene Teilmengen von Polyedern. Baryzentrische Überdeckungen, krumme Polyeder, Übergang zum abstrakten Standpunkt.
Kap. IV. Eckpunkt- und Koeffizientenbereiche: Eckpunktbereiche, Absolute Komplexe. Orientierung, algebraische Komplexe, Randbildung. Simpliziale Abbildungen. Zyklen, Homologie. Zusammenhangsbegriffe. Spezielle Komplexe.
Kap. V. Bettische Gruppen: Allgemeine Eigenschaften. Die ganzzahligen und die rationalen Bettischen Gruppen. Die Bettischen Gruppen modulo \(m\). Zyklen erster und zweiter Art (bei beliebigem Koeffizientenbereich). Die Beziehungen zwischen den Bettischen Gruppen der verschiedenen Koeffizientenbereiche.
Kap. VI. Zerspaltungen und Unterteilungen von Komplexen: Zellenzerspaltung absoluter Komplexe. Unterteilung euklidischer Komplexe.
Kap. VII. Spezielle Fragen aus der Theorie der Komplexe: Geschlossene und irreduzibel geschlossene Komplexe. Additionssätze. Produktkomplexe.
Ein Anhang zu den Kap. IV, V, VI gibt Ergänzungen, Beispiele und Aufgaben.
Der dritte Teil “Topologische Invarianzsätze und anschließende Begriffsbildungen” bringt Sätze über topologische Invarianten. Man unterscheidet – entsprechend der Unterscheidung zwischen “Gestalt” und “Lage” einer Punktmenge – “innere” und “äußere” topologische Invarianten. Für einen Invarianzbeweis bieten sich zwei Hauptmethoden dar, die die Verf. als “Methode der topologisch invarianten Charakterisierung”, bei der die fragliche Eigenschaft eines Raumes (oder Komplexes) als äquivalent mit einer andern, topologisch invariant erklärten Eigenschaft desselben Raumes (oder Komplexes) nachgewiesen wird, und “als Abbildungsmethode”, deren Wesen wohl durch die Benennung bereits hinreichend geklärt wird, bezeichnen. Die Verf. geben der ersten Methode den Vorzug, weil sie die Übertragung von Begriffen der kombinatorischen Topologie auf allgemeinere Räume zuläßt. Da den Verf. nicht nur um eine Sammlung von Sätzen, sondern auch um einen Einblick in die Methoden zu tun ist, so leiten sie manche Invarianzsätze nach beiden Methoden her. In Kap. VIII werden die Beweise nach der Abbildungsmethode, in Kap. IX und X durch invariante Charakterisierung erbracht. An inneren Invarianzeigenschaften – sie beziehen sich sämtlich auf Komplexe – werden behandelt: die Dimensionenzahl, die Struktur der Bettischen Gruppen und gewisse Zusammenhangseigenschaften. An äußeren Invarianzsätzen werden bewiesen: die Verallgemeinerung des Jordanschen Kurvensatzes, nämlich die Invarianz der Anzahl der Gebiete, in die der \(R^n\) durch ein Kompaktum zerlegt wird, sowie der Satz von der Gebietsinvarianz. Im vierten Teil wird unter anderem der Alexandersche Dualitätssatz hergeleitet, der eine weitere wichtige äußere Invarianzaussage darstellt. In einem Anhang zu Kap. IX werden elementare, d. h. keine Tatsachen aus der allgemeinen Theorie benutzende, Beweise des Pflastersatzes und des Fixpunktsatzes für das Simplex vorgetragen, und zwar unter Zugrundelegung eines Satzes von Sperner (Abhandl. Hamburg 6 (1928), 265-272; F. d. M. 54, 614 (JFM 54.0614.*)) im Anschluß an die Darstellung in einer Arbeit von Knaster, Kuratowski und Mazurkiewicz (Fundamenta Math. 14 (1929), 132-137; JFM 55.0972.*).
Kap. VIII. Simpliziale Approximationen stetiger Abbildungen. Stetige Zyklen: Simpliziale Abbildungen von Unterteilungen eines Komplexes. Der Approximationssatz. Homotopie- und Homologietypen stetiger Abbildungen. Topologische Abbildungen; Invarianzsätze. Stetige komplexe und Zyklen. Die Retrakteigenschaft krummer Polyeder, Anwendungen auf Homologien stetiger Zyklen.
Kap. IX. Kanonische Verschiebungen. Nochmals Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. Allgemeiner Dimensionsbegriff: Erhaltungs- und Überführungssätze für das Polyeder. Allgemeine kanonische Verschiebungen, der Pflastersatz, Invarianz der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. Der allgemeine Dimensionsbegriff. Anhang: Elementare Beweise des Fixpunktsatzes für das Simplex und des Pflastersatzes.
Kap. X. Der Zerlegungssatz für den Euklidischen Raum. Weitere Invarianzsätze: Der Zerlegungssatz. Gebietsgrenzen, der Jordan-Brouwersche Satz, Gebietsinvarianz. Weitere Anwendungen und Invarianzsätze. Anhang: Raumzerlegung und wesentliche Abbildung.
Die in Kap. VIII und IX bewiesenen Invarianzsätze lassen die Übertragung der Begriffe und Methoden aus der Topologie der Komplexe auf beliebige Polyeder zu und bilden somit den Anfang einer Topologie der Polyeder. Diese wird im vierten Teil “Verschlingungen im Euklidischen Raum, Stetige Abbildungen von Polyedern”, soweit sie Homologieeigenschaften zum Gegenstand hat und nicht insbesondere nur Mannigfaltigkeiten betrifft, weiter ausgebaut. Den Ausgangspunkt bildet die Einführung des wichtigen Begriffs der “Verschlingungszahl”. Dieser war im Sonderfall zweier geschlossener Kurven des \(R^3\) bekanntlich bereits Gauß bekannt und ist, nachdem Lebesgue den Zusammenhang zwischen den Begriffen “Verschlingung” und “Zerlegung” aufgedeckt hatte, in voller Allgemeinheit und Schärfe von Brouwer aufgestellt worden. An den Begriff der Verschlingungszahl schließt hier nun an einerseits die höhere Verschlingungstheorie des euklidischen Raumes, die in dem Alexanderschen Dualitätssatz gipfelt, anderseits die Theorie des Brouwerschen Abbildungsgrades. Im letzten Kapitel werden Fixpunktsätze bewiesen, und zwar elementare, d. h. solche, die Homologieeigenschaften sind und für beliebige Polyeder gelten. Die auf dem Homotopiebegriff der Fundamentalgruppe beruhende Nielsensche und die nur für Mannigfaltigkeiten gültige Lefschetzsche Fixpunkttheorie werden daher hier nicht gebracht, sondern auf den dritten Band verschoben. Als Anwendung werden im letzten Paragraphen Richtungsfelder in geschlossenen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten besprochen.
Kap. XI. Verschlingungstheorie, Der Alexandersche Dualitätssatz: Schnitt- und Verschlingungszahlen im \(R^n\). Verschlingungen stetiger Zyklen. Die Existenzsätze der Verschlingungstheorie. Der Alexandersche Dualitätssatz. Anhang: Der Lebesgue-Alexandersche Beweis des speziellen Jordan-Brouwerschen Satzes.
Kap. XII. Der Brouwersche Abbildungsgrad, Die Kroneckersche Charakteristik: Die Ordnung eines Punktes in bezug auf einen Zyklus. Die Kroneckersche Charakteristik, der lokale Grad von Abbildungen in den \(R^n\). Spezielle Sätze und Anwendungen. Der Grad von Abbildungen in ein Polyeder. Anhang: Die Brouwersche Deutung der Verschlingungszahl als Charakteristik, Das Gaußsche Integral.
Kap. XIII. Homotopie- und Erweiterungssätze für Abbildungen: Die Umkehrung des Kroneckerschen Existenzsatzes. Die Abbildungen \(n\)-dimensionaler Polyeder in die \(n\)-dimensionale Sphäre. Die Abbildungen \(n\)-dimensionaler Polyeder in die Kreislinie. Die Charakterisierung der Geschlossenheit und des Randes von Polyedern durch Deformationseigenschaften. Anhang: Abbildungen, die einander zwar vollständig homolog, aber nicht homotop sind.
Kap. XIV. Fixpunkte: Ein Existenzsatz für Fixpunkte. Der Index eines Fixpunktes. Die algebraische Anzahl der Fixpunkte einer stetigen Abbildung eines Polyeders in sich. Richtungsfelder in geschlossenen Mannigfaltigkeiten.
In zwei Anhängen werden die Hilfsmittel aus der Algebra, insbesondere die Theorie der abelschen Gruppen, und aus der Geometrie, die Elementargeometrie des \(R^n\) und seiner konvexen Zeilen, entwickelt. Vorkenntnisse werden somit beim Leser nicht vorausgesetzt. Dagegen erfordert die Lektüre des Werkes, das weder ein Lehrbuch noch ein Handbuch im üblichen Sinne ist, eine große Übung in der Verfolgung und Durcharbeitung abstrakter mathematischer Gedankengänge; denn die Verf. haben, wo es notwendig ist, Allgemeinheit und Abstraktion in der Begriffsbildung nicht gescheut. Die Darstellung ist jedoch durchweg klar, wenn auch meistens gedrängt und stets frei von Weitschweifigkeit. Die Übersicht wird außerordentlich erleichtert durch die kurzen Einleitungen, die jedem Hauptteil, und durch die ausführlichen Inhaltsangaben, die jedem Kapital vorausgeschickt werden. Mögen die beiden weiteren Bände des Werkes recht bald folgen und die hier begonnene Darstellung der Topologie als eines Ganzen zum Abschluß bringen!